Theorem dmsn0 5006

Description: The domain of the singleton of the empty set is empty. (Contributed by NM, 30-Jan-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmsn0	|- dom { (/) } = (/)

Proof of Theorem dmsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4567	. . . 4 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		dmsnm 5004	. . . 4 |- ( (/) e. ( _V X. _V ) <-> E. x x e. dom { (/) } )
3	1, 2	mtbi 659	. . 3 |- -. E. x x e. dom { (/) }
4		alnex 1475	. . 3 |- ( A. x -. x e. dom { (/) } <-> -. E. x x e. dom { (/) } )
5	3, 4	mpbir 145	. 2 |- A. x -. x e. dom { (/) }
6		eq0 3381	. 2 |- ( dom { (/) } = (/) <-> A. x -. x e. dom { (/) } )
7	5, 6	mpbir 145	1 |- dom { (/) } = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   A.wal 1329   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   {csn 3527   X. cxp 4537   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  cnvsn0  5007  1st0  6042  2nd0  6043