ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elres Unicode version

Theorem elres 4674
Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elres  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem elres
StepHypRef Expression
1 relres 4667 . . . . 5  |-  Rel  ( B  |`  C )
2 elrel 4470 . . . . 5  |-  ( ( Rel  ( B  |`  C )  /\  A  e.  ( B  |`  C ) )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
31, 2mpan 408 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y  A  =  <. x ,  y >.
)
4 eleq1 2116 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C ) ) )
54biimpd 136 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( B  |`  C ) ) )
6 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
76opelres 4645 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  B  /\  x  e.  C ) )
87biimpi 117 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  /\  x  e.  C
) )
98ancomd 258 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
105, 9syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1110ancld 312 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  ( x  e.  C  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
12 an12 503 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  C  /\  <.
x ,  y >.  e.  B ) )  <->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1311, 12syl6ib 154 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
14132eximdv 1778 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  ( E. x E. y  A  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y
( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) ) )
153, 14mpd 13 . . 3  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
16 rexcom4 2594 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
17 df-rex 2329 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  C  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  <->  E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
1817exbii 1512 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  C  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
19 excom 1570 . . . 4  |-  ( E. y E. x ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2016, 18, 193bitri 199 . . 3  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  <->  E. x E. y ( x  e.  C  /\  ( A  =  <. x ,  y
>.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B ) ) )
2115, 20sylibr 141 . 2  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  ->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
227simplbi2com 1349 . . . . . 6  |-  ( x  e.  C  ->  ( <. x ,  y >.  e.  B  ->  <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )
) )
234biimprd 151 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ( <. x ,  y >.  e.  ( B  |`  C )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2422, 23syl9 70 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  ->  ( A  =  <. x ,  y >.  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  B  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) ) )
2524impd 246 . . . 4  |-  ( x  e.  C  ->  (
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
)  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2625exlimdv 1716 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) ) )
2726rexlimiv 2444 . 2  |-  ( E. x  e.  C  E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  <. x ,  y
>.  e.  B )  ->  A  e.  ( B  |`  C ) )
2821, 27impbii 121 1  |-  ( A  e.  ( B  |`  C )  <->  E. x  e.  C  E. y
( A  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   E.wrex 2324   <.cop 3406    |` cres 4375   Rel wrel 4378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-opab 3847  df-xp 4379  df-rel 4380  df-res 4385
This theorem is referenced by:  elsnres  4675
  Copyright terms: Public domain W3C validator