Theorem elres 4855

Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elres	|- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 4847	. . . . 5 |- Rel ( B |` C )
2		elrel 4641	. . . . 5 |- ( ( Rel ( B |` C ) /\ A e. ( B |` C ) ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
3	1, 2	mpan 420	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y A = <. x , y >. )
4		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) <-> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
5	4	biimpd 143	. . . . . . . 8 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. ( B |` C ) -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
6		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
7	6	opelres 4824	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) <-> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
8	7	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( <. x , y >. e. B /\ x e. C ) )
9	8	ancomd 265	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) )
10	5, 9	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) )
11	10	ancld 323	. . . . . 6 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
12		an12 550	. . . . . 6 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. C /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
13	11, 12	syl6ib 160	. . . . 5 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( A = <. x , y >. -> ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
14	13	2eximdv 1854	. . . 4 |- ( A e. ( B |` C ) -> ( E. x E. y A = <. x , y >. -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) ) )
15	3, 14	mpd 13	. . 3 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
16		rexcom4 2709	. . . 4 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
17		df-rex 2422	. . . . 5 |- ( E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
18	17	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y E. x e. C ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
19		excom 1642	. . . 4 |- ( E. y E. x ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
20	16, 18, 19	3bitri 205	. . 3 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. x E. y ( x e. C /\ ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) ) )
21	15, 20	sylibr 133	. 2 |- ( A e. ( B |` C ) -> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
22	7	simplbi2com 1420	. . . . . 6 |- ( x e. C -> ( <. x , y >. e. B -> <. x , y >. e. ( B |` C ) ) )
23	4	biimprd 157	. . . . . 6 |- ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. ( B |` C ) -> A e. ( B |` C ) ) )
24	22, 23	syl9 72	. . . . 5 |- ( x e. C -> ( A = <. x , y >. -> ( <. x , y >. e. B -> A e. ( B |` C ) ) ) )
25	24	impd 252	. . . 4 |- ( x e. C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
26	25	exlimdv 1791	. . 3 |- ( x e. C -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) ) )
27	26	rexlimiv 2543	. 2 |- ( E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) -> A e. ( B |` C ) )
28	21, 27	impbii 125	1 |- ( A e. ( B |` C ) <-> E. x e. C E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   |` cres 4541   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-res 4551

This theorem is referenced by:  elsnres  4856