Theorem elsucg 4167

Description: Membership in a successor. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 17. (Contributed by NM, 15-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elsucg	|- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Proof of Theorem elsucg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 4134	. . . 4 |- suc B = ( B u. { B } )
2	1	eleq2i 2146	. . 3 |- ( A e. suc B <-> A e. ( B u. { B } ) )
3		elun 3114	. . 3 |- ( A e. ( B u. { B } ) <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
4	2, 3	bitri 182	. 2 |- ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A e. { B } ) )
5		elsng 3421	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. { B } <-> A = B ) )
6	5	orbi2d 737	. 2 |- ( A e. V -> ( ( A e. B \/ A e. { B } ) <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	4, 6	syl5bb 190	1 |- ( A e. V -> ( A e. suc B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   \/ wo 662   = wceq 1285   e. wcel 1434   u. cun 2972   {csn 3406   suc csuc 4128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-sn 3412  df-suc 4134

This theorem is referenced by:  elsuc  4169  elelsuc  4172  sucidg  4179  onsucelsucr  4260  onsucsssucexmid  4278  suc11g  4308  nlt1pig  6593  bj-peano4  10908