ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elun Unicode version

Theorem elun 3111
Description: Expansion of membership in class union. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
elun  |-  ( A  e.  ( B  u.  C )  <->  ( A  e.  B  \/  A  e.  C ) )

Proof of Theorem elun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2583 . 2  |-  ( A  e.  ( B  u.  C )  ->  A  e.  _V )
2 elex 2583 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
3 elex 2583 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  A  e.  _V )
42, 3jaoi 646 . 2  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  e.  C )  ->  A  e.  _V )
5 eleq1 2116 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  B  <->  A  e.  B ) )
6 eleq1 2116 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  C  <->  A  e.  C ) )
75, 6orbi12d 717 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  B  \/  x  e.  C
)  <->  ( A  e.  B  \/  A  e.  C ) ) )
8 df-un 2949 . . 3  |-  ( B  u.  C )  =  { x  |  ( x  e.  B  \/  x  e.  C ) }
97, 8elab2g 2711 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( B  u.  C )  <->  ( A  e.  B  \/  A  e.  C ) ) )
101, 4, 9pm5.21nii 630 1  |-  ( A  e.  ( B  u.  C )  <->  ( A  e.  B  \/  A  e.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 102    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   _Vcvv 2574    u. cun 2942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2949
This theorem is referenced by:  uneqri  3112  uncom  3114  uneq1  3117  unass  3127  ssun1  3133  unss1  3139  ssequn1  3140  unss  3144  rexun  3150  ralunb  3151  unssdif  3199  unssin  3203  inssun  3204  indi  3211  undi  3212  difundi  3216  difindiss  3218  undif3ss  3225  symdifxor  3230  rabun2  3243  reuun2  3247  undif4  3311  ssundifim  3333  dfpr2  3421  eltpg  3443  pwprss  3603  pwtpss  3604  uniun  3626  intun  3673  iunun  3761  iunxun  3762  iinuniss  3764  brun  3837  pwunss  4047  elsuci  4167  elsucg  4168  elsuc2g  4169  ordsucim  4253  sucprcreg  4300  opthprc  4418  xpundi  4423  xpundir  4424  funun  4971  mptun  5056  unpreima  5319  reldmtpos  5898  dftpos4  5908  tpostpos  5909  onunsnss  6385  elnn0  8240  un0addcl  8271  un0mulcl  8272  ltxr  8795  elxr  8796  fzsplit2  9015  elfzp1  9035  uzsplit  9055  elfzp12  9062  fzosplit  9134  fzouzsplit  9136  elfzonlteqm1  9167  fzosplitsni  9192  fz01or  10189  bj-nntrans  10449  bj-nnelirr  10451
  Copyright terms: Public domain W3C validator