Theorem eninr 6983

Description: Equinumerosity of a set and its image under right injection. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eninr	|- ( A e. V -> (inr " A ) ~~ A )

Proof of Theorem eninr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1or 6942	. . . 4 |- (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A )
2		f1oeng 6651	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A ) ) -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
3	1, 2	mpan2 421	. . 3 |- ( A e. V -> A ~~ ( { 1o } X. A ) )
4		df-ima 4552	. . . 4 |- (inr " A ) = ran (inr |` A )
5		dff1o5 5376	. . . . . 6 |- ( (inr |` A ) : A -1-1-onto-> ( { 1o } X. A ) <-> ( (inr |` A ) : A -1-1-> ( { 1o } X. A ) /\ ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A ) ) )
6	1, 5	mpbi 144	. . . . 5 |- ( (inr |` A ) : A -1-1-> ( { 1o } X. A ) /\ ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A ) )
7	6	simpri 112	. . . 4 |- ran (inr |` A ) = ( { 1o } X. A )
8	4, 7	eqtri 2160	. . 3 |- (inr " A ) = ( { 1o } X. A )
9	3, 8	breqtrrdi 3970	. 2 |- ( A e. V -> A ~~ (inr " A ) )
10	9	ensymd 6677	1 |- ( A e. V -> (inr " A ) ~~ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   ran crn 4540   |` cres 4541   "cima 4542   -1-1->wf1 5120   -1-1-onto->wf1o 5122   1oc1o 6306   ~~ cen 6632  inrcinr 6931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-inr 6933

This theorem is referenced by:  endjudisj  7066  djuen  7067