Theorem fnpm 6550

Description: Partial function exponentiation has a universal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fnpm	|- ^pm Fn ( _V X. _V )

Proof of Theorem fnpm

Dummy variables x f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pm 6545	. 2 |- ^pm = ( x e. _V , y e. _V |-> { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } )
2		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
3		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
4	2, 3	xpex 4654	. . . 4 |- ( y X. x ) e. _V
5	4	pwex 4107	. . 3 |- ~P ( y X. x ) e. _V
6	5	rabex 4072	. 2 |- { f e. ~P ( y X. x ) | Fun f } e. _V
7	1, 6	fnmpoi 6102	1 |- ^pm Fn ( _V X. _V )

Syntax hints:   {crab 2420   _Vcvv 2686   ~Pcpw 3510   X. cxp 4537   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   ^pm cpm 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pm 6545

This theorem is referenced by:  lmfval  12361