Theorem idssen 6671

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- _I C_ ~~

Proof of Theorem idssen

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4668	. 2 |- Rel _I
2		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
3	2	ideq 4691	. . . 4 |- ( x _I y <-> x = y )
4		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
5		eqeng 6660	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( x = y -> x ~~ y ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x = y -> x ~~ y )
7	3, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( x _I y -> x ~~ y )
8		df-br 3930	. . 3 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
9		df-br 3930	. . 3 |- ( x ~~ y <-> <. x , y >. e. ~~ )
10	7, 8, 9	3imtr3i 199	. 2 |- ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ~~ )
11	1, 10	relssi 4630	1 |- _I C_ ~~

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   _I cid 4210   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-en 6635

This theorem is referenced by: (None)