Theorem infsnti 6917

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsnti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
infsnti.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
infsnti	|- ( ph -> inf ( { B } , A , R ) = B )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, R, v   ph, u, v

Proof of Theorem infsnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 6872	. 2 |- inf ( { B } , A , R ) = sup ( { B } , A , `' R )
2		infsnti.ti	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3	2	cnvti 6906	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u `' R v /\ -. v `' R u ) ) )
4		infsnti.b	. . 3 |- ( ph -> B e. A )
5	3, 4	supsnti 6892	. 2 |- ( ph -> sup ( { B } , A , `' R ) = B )
6	1, 5	syl5eq 2184	1 |- ( ph -> inf ( { B } , A , R ) = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {csn 3527   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   supcsup 6869  infcinf 6870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-iota 5088  df-riota 5730  df-sup 6871  df-inf 6872

This theorem is referenced by: (None)