Theorem ixpssmap2g 6621

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. This version of ixpssmapg 6622 avoids ax-coll 4043. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap2g	|- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem ixpssmap2g

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 6614	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> f : A --> U_ x e. A B )
2	1	adantl 275	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f : A --> U_ x e. A B )
3		ixpfn 6598	. . . . . 6 |- ( f e. X_ x e. A B -> f Fn A )
4		fndm 5222	. . . . . . 7 |- ( f Fn A -> dom f = A )
5		vex 2689	. . . . . . . 8 |- f e. _V
6	5	dmex 4805	. . . . . . 7 |- dom f e. _V
7	4, 6	eqeltrrdi 2231	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> A e. _V )
8	3, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B -> A e. _V )
9		elmapg 6555	. . . . 5 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ A e. _V ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
10	8, 9	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> ( f e. ( U_ x e. A B ^m A ) <-> f : A --> U_ x e. A B ) )
11	2, 10	mpbird 166	. . 3 |- ( ( U_ x e. A B e. V /\ f e. X_ x e. A B ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) )
12	11	ex 114	. 2 |- ( U_ x e. A B e. V -> ( f e. X_ x e. A B -> f e. ( U_ x e. A B ^m A ) ) )
13	12	ssrdv 3103	1 |- ( U_ x e. A B e. V -> X_ x e. A B C_ ( U_ x e. A B ^m A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   U_ciun 3813   dom cdm 4539   Fn wfn 5118   -->wf 5119  (class class class)co 5774   ^m cmap 6542   X_cixp 6592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544  df-ixp 6593

This theorem is referenced by:  ixpssmapg  6622