ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lt2msq Unicode version

Theorem lt2msq 7927
Description: Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lt2msq  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )

Proof of Theorem lt2msq
StepHypRef Expression
1 lt2msq1 7926 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
)
213expia 1117 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  < 
B  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
32adantrr 456 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  ->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
4 simpr 107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
5 simpll 489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
6 lt2msq1 7926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  A  e.  RR  /\  B  <  A )  ->  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
)
763expia 1117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  < 
A  ->  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
) )
84, 5, 7syl2anc 397 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  <  A  ->  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
) )
98con3d 571 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( -.  ( B  x.  B
)  <  ( A  x.  A )  ->  -.  B  <  A ) )
105, 5remulcld 7115 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
11 simprl 491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
1211, 11remulcld 7115 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  x.  B )  e.  RR )
1310, 12lenltd 7193 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B
)  <->  -.  ( B  x.  B )  <  ( A  x.  A )
) )
145, 11lenltd 7193 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
159, 13, 143imtr4d 196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B
)  ->  A  <_  B ) )
165recnd 7113 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  CC )
1711recnd 7113 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  CC )
18 mulext 7679 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  -> 
( ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B )  ->  ( A #  B  \/  A #  B ) ) )
1916, 16, 17, 17, 18syl22anc 1147 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B
)  ->  ( A #  B  \/  A #  B
) ) )
20 oridm 684 . . . . 5  |-  ( ( A #  B  \/  A #  B )  <->  A #  B
)
2119, 20syl6ib 154 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B
)  ->  A #  B
) )
2215, 21anim12d 322 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( (
( A  x.  A
)  <_  ( B  x.  B )  /\  ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B
) )  ->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
23 ltleap 7695 . . . 4  |-  ( ( ( A  x.  A
)  e.  RR  /\  ( B  x.  B
)  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  A )  < 
( B  x.  B
)  <->  ( ( A  x.  A )  <_ 
( B  x.  B
)  /\  ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B ) ) ) )
2410, 12, 23syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B
)  <->  ( ( A  x.  A )  <_ 
( B  x.  B
)  /\  ( A  x.  A ) #  ( B  x.  B ) ) ) )
25 ltleap 7695 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
265, 11, 25syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
2722, 24, 263imtr4d 196 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B
)  ->  A  <  B ) )
283, 27impbid 124 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  A )  <  ( B  x.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    e. wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947    x. cmul 6952    < clt 7119    <_ cle 7120   # cap 7646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647
This theorem is referenced by:  le2msq  7942  lt2msqi  7955  lt2sq  9493
  Copyright terms: Public domain W3C validator