Theorem lenltd 7883

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 7843	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7622   < clt 7803   <_ cle 7804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-xr 7807  df-le 7809

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7885  nltled  7886  lensymd  7887  leadd1  8195  lemul1  8358  leltap  8390  ap0gt0  8405  prodgt0  8613  prodge0  8615  lediv1  8630  lemuldiv  8642  lerec  8645  lt2msq  8647  le2msq  8662  squeeze0  8665  suprleubex  8715  0mnnnnn0  9012  elnn0z  9070  uzm1  9359  fztri3or  9822  fzdisj  9835  uzdisj  9876  nn0disj  9918  fzouzdisj  9960  elfzonelfzo  10010  flqeqceilz  10094  modifeq2int  10162  modsumfzodifsn  10172  expcanlem  10465  fimaxq  10576  resqrexlemoverl  10796  leabs  10849  absle  10864  maxleast  10988  minmax  11004  climge0  11097  efler  11408