Theorem lenltd 7294

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 7254	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3793   RRcr 7042   < clt 7215   <_ cle 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-xp 4377  df-cnv 4379  df-xr 7219  df-le 7221

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7296  nltled  7297  lensymd  7298  leadd1  7601  lemul1  7760  leltap  7791  ap0gt0  7805  prodgt0  7997  prodge0  7999  lediv1  8014  lemuldiv  8026  lerec  8029  lt2msq  8031  le2msq  8046  squeeze0  8049  suprleubex  8099  0mnnnnn0  8387  elnn0z  8445  uzm1  8730  fztri3or  9134  fzdisj  9147  uzdisj  9186  nn0disj  9225  fzouzdisj  9266  elfzonelfzo  9316  flqeqceilz  9400  modifeq2int  9468  modsumfzodifsn  9478  expcanlem  9740  resqrexlemoverl  10045  leabs  10098  absle  10113  maxleast  10237  minmax  10250  climge0  10301