Theorem plusgndxnmulrndx 12082

Description: The slot for the group (addition) operation is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
plusgndxnmulrndx	|- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem plusgndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgndx 12062	. 2 |- ( +g ` ndx ) = 2
2		2re 8797	. . . 4 |- 2 e. RR
3		2lt3 8897	. . . 4 |- 2 < 3
4	2, 3	ltneii 7867	. . 3 |- 2 =/= 3
5		mulrndx 12079	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
6	4, 5	neeqtrri 2337	. 2 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
7	1, 6	eqnetri 2331	1 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2308   ` cfv 5123   2c2 8778   3c3 8779   ndxcnx 11966   +g cplusg 12031   .rcmulr 12032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltadd 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-ndx 11972  df-slot 11973  df-plusg 12044  df-mulr 12045

This theorem is referenced by: (None)