Theorem plusgndxnmulrndx 12075

Description: The slot for the group (addition) operation is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
plusgndxnmulrndx	⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Proof of Theorem plusgndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgndx 12055	. 2 ⊢ (+g‘ndx) = 2
2		2re 8793	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		2lt3 8893	. . . 4 ⊢ 2 < 3
4	2, 3	ltneii 7863	. . 3 ⊢ 2 ≠ 3
5		mulrndx 12072	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
6	4, 5	neeqtrri 2337	. 2 ⊢ 2 ≠ (.r‘ndx)
7	1, 6	eqnetri 2331	1 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)

Syntax hints:   ≠ wne 2308  ‘cfv 5123  2c2 8774  3c3 8775  ndxcnx 11959  +_gcplusg 12024  ._rcmulr 12025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltadd 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-ltxr 7808  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-ndx 11965  df-slot 11966  df-plusg 12037  df-mulr 12038

This theorem is referenced by: (None)