ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relssdv Unicode version

Theorem relssdv 4452
Description: Deduction from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 11-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
relssdv.1  |-  ( ph  ->  Rel  A )
relssdv.2  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
Assertion
Ref Expression
relssdv  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    ph, x, y

Proof of Theorem relssdv
StepHypRef Expression
1 relssdv.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
21alrimivv 1797 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) )
3 relssdv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  A )
4 ssrel 4448 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
53, 4syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
62, 5mpbird 165 1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103   A.wal 1283    e. wcel 1434    C_ wss 2974   <.cop 3403   Rel wrel 4370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-opab 3842  df-xp 4371  df-rel 4372
This theorem is referenced by:  relssres  4670  poirr2  4741  relssdmrn  4865
  Copyright terms: Public domain W3C validator