Theorem setsvalg 11989

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsvalg	|- ( ( S e. V /\ A e. W ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )

Proof of Theorem setsvalg

Dummy variables e s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. 2 |- ( S e. V -> S e. _V )
2		elex 2697	. 2 |- ( A e. W -> A e. _V )
3		resexg 4859	. . . 4 |- ( S e. _V -> ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) e. _V )
4		snexg 4108	. . . 4 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
5		unexg 4364	. . . 4 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) e. _V /\ { A } e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) e. _V )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) e. _V )
7		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> s = S )
8		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> e = A )
9	8	sneqd 3540	. . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> { e } = { A } )
10	9	dmeqd 4741	. . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> dom { e } = dom { A } )
11	10	difeq2d 3194	. . . . . 6 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> ( _V \ dom { e } ) = ( _V \ dom { A } ) )
12	7, 11	reseq12d 4820	. . . . 5 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> ( s |` ( _V \ dom { e } ) ) = ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) )
13	12, 9	uneq12d 3231	. . . 4 |- ( ( s = S /\ e = A ) -> ( ( s |` ( _V \ dom { e } ) ) u. { e } ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )
14		df-sets 11966	. . . 4 |- sSet = ( s e. _V , e e. _V |-> ( ( s |` ( _V \ dom { e } ) ) u. { e } ) )
15	13, 14	ovmpoga 5900	. . 3 |- ( ( S e. _V /\ A e. _V /\ ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) e. _V ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )
16	6, 15	mpd3an3 1316	. 2 |- ( ( S e. _V /\ A e. _V ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )
17	1, 2, 16	syl2an 287	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W ) -> ( S sSet A ) = ( ( S |` ( _V \ dom { A } ) ) u. { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   u. cun 3069   {csn 3527   dom cdm 4539   |` cres 4541  (class class class)co 5774   sSet csts 11957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sets 11966

This theorem is referenced by:  setsvala  11990  setsfun  11994  setsfun0  11995  setsresg  11997