Theorem shftlem 10588

Description: Two ways to write a shifted set ( B + A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
shftlem	|- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem shftlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2425	. 2 |- { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) }
2		npcan 7971	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
3	2	ancoms 266	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) + A ) = x )
4	3	eqcomd 2145	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> x = ( ( x - A ) + A ) )
5		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( x - A ) -> ( y + A ) = ( ( x - A ) + A ) )
6	5	eqeq2d 2151	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - A ) -> ( x = ( y + A ) <-> x = ( ( x - A ) + A ) ) )
7	6	rspcev 2789	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x - A ) e. B /\ x = ( ( x - A ) + A ) ) -> E. y e. B x = ( y + A ) )
8	7	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( x - A ) + A ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
9	4, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( x - A ) e. B -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
10	9	expimpd 360	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
11	10	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) -> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
12		ssel2 3092	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ CC /\ y e. B ) -> y e. CC )
13		addcl 7745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
14	12, 13	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( y + A ) e. CC )
15		pncan 7968	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
16	12, 15	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) = y )
17		simplr 519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> y e. B )
18	16, 17	eqeltrd 2216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) - A ) e. B )
19	14, 18	jca 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ CC /\ y e. B ) /\ A e. CC ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
20	19	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( B C_ CC /\ y e. B ) ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
21	20	anassrs 397	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
22		eleq1 2202	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC <-> ( y + A ) e. CC ) )
23		oveq1 5781	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + A ) -> ( x - A ) = ( ( y + A ) - A ) )
24	23	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x - A ) e. B <-> ( ( y + A ) - A ) e. B ) )
25	22, 24	anbi12d 464	. . . . . 6 |- ( x = ( y + A ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> ( ( y + A ) e. CC /\ ( ( y + A ) - A ) e. B ) ) )
26	21, 25	syl5ibrcom 156	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) /\ y e. B ) -> ( x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
27	26	rexlimdva 2549	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( E. y e. B x = ( y + A ) -> ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) ) )
28	11, 27	impbid 128	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> ( ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) <-> E. y e. B x = ( y + A ) ) )
29	28	abbidv 2257	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x | ( x e. CC /\ ( x - A ) e. B ) } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )
30	1, 29	syl5eq 2184	1 |- ( ( A e. CC /\ B C_ CC ) -> { x e. CC | ( x - A ) e. B } = { x | E. y e. B x = ( y + A ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   {crab 2420   C_ wss 3071  (class class class)co 5774   CCcc 7618   + caddc 7623   - cmin 7933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935

This theorem is referenced by: (None)