Theorem structcnvcnv 11978

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	|- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4567	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		cnvcnv 4991	. . . . . . . 8 |- `' `' F = ( F i^i ( _V X. _V ) )
3		inss2 3297	. . . . . . . 8 |- ( F i^i ( _V X. _V ) ) C_ ( _V X. _V )
4	2, 3	eqsstri 3129	. . . . . . 7 |- `' `' F C_ ( _V X. _V )
5	4	sseli 3093	. . . . . 6 |- ( (/) e. `' `' F -> (/) e. ( _V X. _V ) )
6	1, 5	mto 651	. . . . 5 |- -. (/) e. `' `' F
7		disjsn 3585	. . . . 5 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. `' `' F )
8	6, 7	mpbir 145	. . . 4 |- ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/)
9		cnvcnvss 4993	. . . . 5 |- `' `' F C_ F
10		reldisj 3414	. . . . 5 |- ( `' `' F C_ F -> ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
12	8, 11	mpbi 144	. . 3 |- `' `' F C_ ( F \ { (/) } )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( F Struct X -> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
14		structn0fun 11975	. . . . 5 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
15		funrel 5140	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) -> Rel ( F \ { (/) } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( F Struct X -> Rel ( F \ { (/) } ) )
17		dfrel2 4989	. . . 4 |- ( Rel ( F \ { (/) } ) <-> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
18	16, 17	sylib 121	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
19		difss 3202	. . . 4 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
20		cnvss 4712	. . . 4 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F )
21		cnvss 4712	. . . 4 |- ( `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F -> `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 |- `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F
23	18, 22	eqsstrrdi 3150	. 2 |- ( F Struct X -> ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
24	13, 23	eqssd 3114	1 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   \ cdif 3068   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929   X. cxp 4537   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   Struct cstr 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-struct 11964

This theorem is referenced by:  structfung  11979