Theorem uniopn 12171

Description: The union of a subset of a topology (that is, the union of any family of open sets of a topology) is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Proof of Theorem uniopn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 12169	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 175	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3	2	simpld 111	. . 3 |- ( J e. Top -> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) )
4		elpw2g 4081	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( A e. ~P J <-> A C_ J ) )
5	4	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> A e. ~P J )
6		sseq1 3120	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x C_ J <-> A C_ J ) )
7		unieq 3745	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. x = U. A )
8	7	eleq1d 2208	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( U. x e. J <-> U. A e. J ) )
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x C_ J -> U. x e. J ) <-> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
10	9	spcgv 2773	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
12	11	com23 78	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
13	12	ex 114	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) ) )
14	13	pm2.43d 50	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
15	3, 14	mpid 42	. 2 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> U. A e. J ) )
16	15	imp 123	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   i^i cin 3070   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   U.cuni 3736   Topctop 12167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-top 12168

This theorem is referenced by:  iunopn  12172  unopn  12175  0opn  12176  topopn  12178  tgtop  12240  ntropn  12289  neipsm  12326  unimopn  12658  metrest  12678  cnopncntop  12709