ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposss Unicode version

Theorem tposss 5895
Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposss  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )

Proof of Theorem tposss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coss1 4519 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
2 dmss 4562 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
3 cnvss 4536 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  C_  dom  G  ->  `' dom  F  C_  `' dom  G )
4 unss1 3142 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  C_  `' dom  G  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/) } ) )
5 resmpt 4686 . . . . . 6  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
62, 3, 4, 54syl 18 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
7 resss 4663 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
86, 7syl6eqssr 3051 . . . 4  |-  ( F 
C_  G  ->  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
9 coss2 4520 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
111, 10sstrd 3010 . 2  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
12 df-tpos 5894 . 2  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
13 df-tpos 5894 . 2  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
1411, 12, 133sstr4g 3041 1  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1285    u. cun 2972    C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   U.cuni 3609    |-> cmpt 3847   `'ccnv 4370   dom cdm 4371    |` cres 4373    o. ccom 4375  tpos ctpos 5893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-res 4383  df-tpos 5894
This theorem is referenced by:  tposeq  5896
  Copyright terms: Public domain W3C validator