ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xle2add Unicode version
Theorem xle2add 9665
Description: Extended real version of le2add 8209. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> A e. RR* )
2 simprl 520 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> C e. RR* )
3 simplr 519 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> B e. RR* )
4 xleadd1a 9659 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) /\ A <_ C ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) )
54ex 114 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1216 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A <_ C -> ( A +e B ) <_ ( C +e B ) ) )
7 simprr 521 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> D e. RR* )
8 xleadd2a 9660 . . . 4 |- ( ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) /\ B <_ D ) -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) )
98ex 114 . . 3 |- ( ( B e. RR* /\ D e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
103, 7, 2, 9syl3anc 1216 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( B <_ D -> ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
11 xaddcl 9646 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
1211adantr 274 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
13 xaddcl 9646 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C +e B ) e. RR* )
142, 3, 13syl2anc 408 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e B ) e. RR* )
15 xaddcl 9646 . . . 4 |- ( ( C e. RR* /\ D e. RR* ) -> ( C +e D ) e. RR* )
1615adantl 275 . . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( C +e D ) e. RR* )
17 xrletr 9594 . . 3 |- ( ( ( A +e B ) e. RR* /\ ( C +e B ) e. RR* /\ ( C +e D ) e. RR* ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1216 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( ( A +e B ) <_ ( C +e B ) /\ ( C +e B ) <_ ( C +e D ) ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
196, 10, 18syl2and 293 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ D e. RR* ) ) -> ( ( A <_ C /\ B <_ D ) -> ( A +e B ) <_ ( C +e D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RR*cxr 7802   <_ cle 7804   +ecxad 9560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-i2m1 7728  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-xadd 9563
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11048  xmetxp  12679
  Copyright terms: Public domain W3C validator