Theorem xpmlem 4794

Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpmlem	|- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem xpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1850	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
2		vex 2613	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2613	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opex 4012	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
5		eleq1 2145	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
6		opelxp 4420	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
7	5, 6	syl6bb 194	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
8	4, 7	spcev 2701	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
9	8	exlimivv 1819	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
10	1, 9	sylbir 133	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
11		elxp 4408	. . . . 5 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
12		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
13	12	2eximi 1533	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
14	11, 13	sylbi 119	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
15	14	exlimiv 1530	. . 3 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
16	15, 1	sylib 120	. 2 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
17	10, 16	impbii 124	1 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   <.cop 3419   X. cxp 4389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-opab 3860  df-xp 4397

This theorem is referenced by:  xpm  4795