ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpnnen Unicode version

Theorem xpnnen 10832
Description: The Cartesian product of the set of positive integers with itself is equinumerous to the set of positive integers. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
xpnnen  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN

Proof of Theorem xpnnen
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2083 . . . 4  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  =  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }
2 eqid 2083 . . . 4  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) )  =  ( x  e. 
{ z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) )
31, 2oddpwdc 10777 . . 3  |-  ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) : ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN
4 f1ocnv 5191 . . 3  |-  ( ( x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) : ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 ) -1-1-onto-> NN  ->  `' (
x  e.  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } , 
y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x ) ) : NN -1-1-onto-> ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 ) )
5 nnex 8182 . . . 4  |-  NN  e.  _V
65f1oen 6328 . . 3  |-  ( `' ( x  e.  {
z  e.  NN  |  -.  2  ||  z } ,  y  e.  NN0  |->  ( ( 2 ^ y )  x.  x
) ) : NN -1-1-onto-> ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 )  ->  NN  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 ) )
73, 4, 6mp2b 8 . 2  |-  NN  ~~  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 )
8 oddennn 10830 . . 3  |-  { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN
9 nn0ennn 9585 . . 3  |-  NN0  ~~  NN
10 xpen 6408 . . 3  |-  ( ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  ~~  NN  /\  NN0  ~~  NN )  ->  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
118, 9, 10mp2an 417 . 2  |-  ( { z  e.  NN  |  -.  2  ||  z }  X.  NN0 )  ~~  ( NN  X.  NN )
127, 11entr2i 6356 1  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   {crab 2357   class class class wbr 3805    X. cxp 4389   `'ccnv 4390   -1-1-onto->wf1o 4951  (class class class)co 5564    |-> cmpt2 5566    ~~ cen 6307    x. cmul 7118   NNcn 8176   2c2 8226   NN0cn0 8425   ^cexp 9642    || cdvds 10421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fz 9176  df-fl 9422  df-mod 9475  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-dvds 10422
This theorem is referenced by:  xpomen  10833
  Copyright terms: Public domain W3C validator