Theorem qnnen 11944

Description: The rational numbers are countably infinite. Corollary 8.1.23 of [AczelRathjen], p. 75. This is Metamath 100 proof #3. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
qnnen	|- QQ ~~ NN

Proof of Theorem qnnen

Dummy variables f g p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qdceq 10024	. . 3 |- ( ( p e. QQ /\ q e. QQ ) -> DECID p = q )
2	1	rgen2a 2486	. 2 |- A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q
3		znnen 11911	. . . . . . . 8 |- ZZ ~~ NN
4		nnex 8726	. . . . . . . . 9 |- NN e. _V
5	4	enref 6659	. . . . . . . 8 |- NN ~~ NN
6		xpen 6739	. . . . . . . 8 |- ( ( ZZ ~~ NN /\ NN ~~ NN ) -> ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN ) )
7	3, 5, 6	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( ZZ X. NN ) ~~ ( NN X. NN )
8		xpnnen 11907	. . . . . . 7 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
9	7, 8	entri 6680	. . . . . 6 |- ( ZZ X. NN ) ~~ NN
10		nnenom 10207	. . . . . 6 |- NN ~~ om
11	9, 10	entri 6680	. . . . 5 |- ( ZZ X. NN ) ~~ om
12	11	ensymi 6676	. . . 4 |- om ~~ ( ZZ X. NN )
13		bren 6641	. . . 4 |- ( om ~~ ( ZZ X. NN ) <-> E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) )
14	12, 13	mpbi 144	. . 3 |- E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN )
15		f1ofo 5374	. . . . 5 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) )
16		divfnzn 9413	. . . . . . . . 9 |- ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN )
17		fnfun 5220	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) )
19		fndm 5222	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) Fn ( ZZ X. NN ) -> dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) )
20		eqimss2 3152	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) = ( ZZ X. NN ) -> ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) )
21	16, 19, 20	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) )
22		fores 5354	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) C_ dom ( / |` ( ZZ X. NN ) ) ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) )
23	18, 21, 22	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) )
24		resima 4852	. . . . . . . . 9 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = ( / " ( ZZ X. NN ) )
25		df-q 9412	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( / " ( ZZ X. NN ) )
26	24, 25	eqtr4i 2163	. . . . . . . 8 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ
27		foeq3 5343	. . . . . . . 8 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) = QQ -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) " ( ZZ X. NN ) ) <-> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ )
29	23, 28	mpbi 144	. . . . . 6 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ
30		foco 5355	. . . . . 6 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) : ( ZZ X. NN ) -onto-> QQ /\ g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
31	29, 30	mpan 420	. . . . 5 |- ( g : om -onto-> ( ZZ X. NN ) -> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ )
32		zex 9063	. . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
33	32, 4	xpex 4654	. . . . . . . 8 |- ( ZZ X. NN ) e. _V
34		resfunexg 5641	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( / |` ( ZZ X. NN ) ) /\ ( ZZ X. NN ) e. _V ) -> ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V )
35	18, 33, 34	mp2an 422	. . . . . . 7 |- ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) e. _V
36		vex 2689	. . . . . . 7 |- g e. _V
37	35, 36	coex 5084	. . . . . 6 |- ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) e. _V
38		foeq1 5341	. . . . . 6 |- ( f = ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) -> ( f : om -onto-> QQ <-> ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ ) )
39	37, 38	spcev 2780	. . . . 5 |- ( ( ( ( / |` ( ZZ X. NN ) ) |` ( ZZ X. NN ) ) o. g ) : om -onto-> QQ -> E. f f : om -onto-> QQ )
40	15, 31, 39	3syl 17	. . . 4 |- ( g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
41	40	exlimiv 1577	. . 3 |- ( E. g g : om -1-1-onto-> ( ZZ X. NN ) -> E. f f : om -onto-> QQ )
42	14, 41	ax-mp 5	. 2 |- E. f f : om -onto-> QQ
43	10	ensymi 6676	. . 3 |- om ~~ NN
44		qex 9424	. . . 4 |- QQ e. _V
45		nnssq 9421	. . . 4 |- NN C_ QQ
46		ssdomg 6672	. . . 4 |- ( QQ e. _V -> ( NN C_ QQ -> NN ~<_ QQ ) )
47	44, 45, 46	mp2 16	. . 3 |- NN ~<_ QQ
48		endomtr 6684	. . 3 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ QQ ) -> om ~<_ QQ )
49	43, 47, 48	mp2an 422	. 2 |- om ~<_ QQ
50		ctinf 11943	. 2 |- ( QQ ~~ NN <-> ( A. p e. QQ A. q e. QQ DECID p = q /\ E. f f : om -onto-> QQ /\ om ~<_ QQ ) )
51	2, 42, 49, 50	mpbir3an 1163	1 |- QQ ~~ NN

Syntax hints:   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   omcom 4504   X. cxp 4537   dom cdm 4539   |` cres 4541   "cima 4542   o. ccom 4543   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633   / cdiv 8432   NNcn 8720   ZZcz 9054   QQcq 9411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-dvds 11494

This theorem is referenced by: (None)