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Theorem xpsspw 4478
Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpsspw  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )

Proof of Theorem xpsspw
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4389 . . . 4  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  E. x E. y ( z  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) ) )
2 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3dfop 3576 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =  { { x } ,  { x ,  y } }
5 snssi 3536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  A )
6 ssun3 3136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { x }  C_  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
75, 6syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  { x }  C_  ( A  u.  B ) )
87adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x }  C_  ( A  u.  B
) )
9 sseq1 2994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { x }  ->  ( z  C_  ( A  u.  B )  <->  { x }  C_  ( A  u.  B )
) )
108, 9syl5ibrcom 150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  {
x }  ->  z  C_  ( A  u.  B
) ) )
11 df-pr 3410 . . . . . . . . . . . 12  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
12 snssi 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  B )
13 ssun4 3137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { y }  C_  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B
) )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  { y }  C_  ( A  u.  B ) )
157, 14anim12i 325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) ) )
16 unss 3145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x }  C_  ( A  u.  B
)  /\  { y }  C_  ( A  u.  B ) )  <->  ( {
x }  u.  {
y } )  C_  ( A  u.  B
) )
1715, 16sylib 131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  ( A  u.  B ) )
1811, 17syl5eqss 3017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B ) )
19 sseq1 2994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  { x ,  y }  ->  (
z  C_  ( A  u.  B )  <->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B
) ) )
2018, 19syl5ibrcom 150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  =  {
x ,  y }  ->  z  C_  ( A  u.  B )
) )
2110, 20jaod 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  =  { x }  \/  z  =  { x ,  y } )  ->  z  C_  ( A  u.  B )
) )
22 vex 2577 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
2322elpr 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { { x } ,  { x ,  y } }  <->  ( z  =  { x }  \/  z  =  { x ,  y } ) )
2422elpw 3393 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  z  C_  ( A  u.  B
) )
2521, 23, 243imtr4g 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  { { x } ,  { x ,  y } }  ->  z  e.  ~P ( A  u.  B ) ) )
2625ssrdv 2979 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { { x } ,  { x ,  y } }  C_  ~P ( A  u.  B
) )
274, 26syl5eqss 3017 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  -> 
<. x ,  y >.  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
28 sseq1 2994 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  C_  ~P ( A  u.  B
)  <->  <. x ,  y
>.  C_  ~P ( A  u.  B ) ) )
2928biimpar 285 . . . . . 6  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  <. x ,  y >.  C_  ~P ( A  u.  B
) )  ->  z  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
3027, 29sylan2 274 . . . . 5  |-  ( ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  z  C_  ~P ( A  u.  B
) )
3130exlimivv 1792 . . . 4  |-  ( E. x E. y ( z  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  z  C_  ~P ( A  u.  B
) )
321, 31syl 14 . . 3  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  z  C_ 
~P ( A  u.  B ) )
3322elpw 3393 . . 3  |-  ( z  e.  ~P ~P ( A  u.  B )  <->  z 
C_  ~P ( A  u.  B ) )
3432, 33sylibr 141 . 2  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  ->  z  e.  ~P ~P ( A  u.  B ) )
3534ssriv 2977 1  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    \/ wo 639    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409    u. cun 2943    C_ wss 2945   ~Pcpw 3387   {csn 3403   {cpr 3404   <.cop 3406    X. cxp 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-opab 3847  df-xp 4379
This theorem is referenced by:  unixpss  4479  xpexg  4480
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