Theorem 0fz1 9210

Description: Two ways to say a finite 1-based sequence is empty. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
0fz1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Proof of Theorem 0fz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fn0 5069	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
2		fndmu 5051	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 Fn ∅) → (1...𝑁) = ∅)
3	1, 2	sylan2br 282	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (1...𝑁) ∧ 𝐹 = ∅) → (1...𝑁) = ∅)
4	3	ex 113	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ → (1...𝑁) = ∅))
5		fneq2 5039	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 Fn ∅))
6	5, 1	syl6bb 194	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) = ∅ → (𝐹 Fn (1...𝑁) ↔ 𝐹 = ∅))
7	6	biimpcd 157	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → ((1...𝑁) = ∅ → 𝐹 = ∅))
8	4, 7	impbid 127	. 2 ⊢ (𝐹 Fn (1...𝑁) → (𝐹 = ∅ ↔ (1...𝑁) = ∅))
9		fz1n 9209	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1...𝑁) = ∅ ↔ 𝑁 = 0))
10	8, 9	sylan9bbr 451	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 Fn (1...𝑁)) → (𝐹 = ∅ ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  ∅c0 3267   Fn wfn 4947  (class class class)co 5564  0cc0 7113  1c1 7114  ℕ₀cn0 8425  ...cfz 9175

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-addcom 7208  ax-addass 7210  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-fz 9176

This theorem is referenced by: (None)