Theorem dffun2 5133

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun2	⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 5125	. 2 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ (𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ))
2		df-id 4215	. . . . . 6 ⊢ I = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧}
3	2	sseq2i 3124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ↔ (𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧})
4		df-co 4548	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∘ ◡𝐴) = {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧)}
5	4	sseq1i 3123	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧} ↔ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧)} ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧})
6		ssopab2b 4198	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧)} ⊆ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ 𝑦 = 𝑧} ↔ ∀𝑦∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
7	3, 5, 6	3bitri 205	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ↔ ∀𝑦∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
8		vex 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 4722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
11	10	anbi1i 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) ↔ (𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧))
12	11	exbii 1584	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧))
13	12	imbi1i 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
14		19.23v 1855	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
15	13, 14	bitr4i 186	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
16	15	albii 1446	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑧∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
17		alcom 1454	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧∀𝑥((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
18	16, 17	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
19	18	albii 1446	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(∃𝑥(𝑦◡𝐴𝑥 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑦∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
20		alcom 1454	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑥∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
21	7, 19, 20	3bitri 205	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
22	21	anbi2i 452	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ (𝐴 ∘ ◡𝐴) ⊆ I ) ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
23	1, 22	bitri 183	1 ⊢ (Fun 𝐴 ↔ (Rel 𝐴 ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥𝐴𝑦 ∧ 𝑥𝐴𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329  ∃wex 1468   ⊆ wss 3071   class class class wbr 3929  {copab 3988   I cid 4210  ^◡ccnv 4538   ∘ ccom 4543  Rel wrel 4544  Fun wfun 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-cnv 4547  df-co 4548  df-fun 5125

This theorem is referenced by:  dffun4  5134  dffun6f  5136  sbcfung  5147  funcnveq  5186  fliftfun  5697  fclim  11063