ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  disjpr2 GIF version

Theorem disjpr2 3461
Description: The intersection of distinct unordered pairs is disjoint. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
disjpr2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)

Proof of Theorem disjpr2
StepHypRef Expression
1 df-pr 3409 . . . 4 {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷})
21a1i 9 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → {𝐶, 𝐷} = ({𝐶} ∪ {𝐷}))
32ineq2d 3165 . 2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})))
4 indi 3211 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}))
5 df-pr 3409 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65ineq1i 3161 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶})
7 indir 3213 . . . . . . 7 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
86, 7eqtri 2076 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶}))
9 disjsn2 3460 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶 → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
109adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
1110adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅)
12 disjsn2 3460 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐶 → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1312adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1413adantr 265 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
1511, 14jca 294 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅))
16 un00 3290 . . . . . . 7 ((({𝐴} ∩ {𝐶}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
1715, 16sylib 131 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐶})) = ∅)
188, 17syl5eq 2100 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
195ineq1i 3161 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷})
20 indir 3213 . . . . . . 7 (({𝐴} ∪ {𝐵}) ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
2119, 20eqtri 2076 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷}))
22 disjsn2 3460 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
2322adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐷𝐵𝐷) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
2423adantl 266 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅)
25 disjsn2 3460 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝐷 → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2625adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐷𝐵𝐷) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2726adantl 266 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
2824, 27jca 294 . . . . . . 7 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅))
29 un00 3290 . . . . . . 7 ((({𝐴} ∩ {𝐷}) = ∅ ∧ ({𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅) ↔ (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
3028, 29sylib 131 . . . . . 6 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴} ∩ {𝐷}) ∪ ({𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
3121, 30syl5eq 2100 . . . . 5 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷}) = ∅)
3218, 31uneq12d 3125 . . . 4 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = (∅ ∪ ∅))
33 un0 3278 . . . 4 (∅ ∪ ∅) = ∅
3432, 33syl6eq 2104 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) ∪ ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐷})) = ∅)
354, 34syl5eq 2100 . 2 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ ({𝐶} ∪ {𝐷})) = ∅)
363, 35eqtrd 2088 1 (((𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ (𝐴𝐷𝐵𝐷)) → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶, 𝐷}) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wne 2220  cun 2942  cin 2943  c0 3251  {csn 3402  {cpr 3403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-sn 3408  df-pr 3409
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator