ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iccshftr GIF version

Theorem iccshftr 8933
Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccshftr.1 (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
iccshftr.2 (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccshftr (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftr
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 readdcl 7035 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ)
31, 22thd 168 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
43adantl 266 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ))
5 leadd1 7469 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
653expb 1114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
76adantlr 454 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅)))
8 iccshftr.1 . . . . 5 (𝐴 + 𝑅) = 𝐶
98breq1i 3796 . . . 4 ((𝐴 + 𝑅) ≤ (𝑋 + 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅))
107, 9syl6bb 189 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅)))
11 leadd1 7469 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
12113expb 1114 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
1312an12s 507 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
1413adantll 453 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅)))
15 iccshftr.2 . . . . 5 (𝐵 + 𝑅) = 𝐷
1615breq2i 3797 . . . 4 ((𝑋 + 𝑅) ≤ (𝐵 + 𝑅) ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)
1714, 16syl6bb 189 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷))
184, 10, 173anbi123d 1216 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
19 elicc2 8878 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2019adantr 265 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
21 readdcl 7035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝑅) ∈ ℝ)
228, 21syl5eqelr 2139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23 readdcl 7035 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝑅) ∈ ℝ)
2415, 23syl5eqelr 2139 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25 elicc2 8878 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2622, 24, 25syl2an 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2726anandirs 535 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2827adantrl 455 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 + 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 + 𝑅) ∧ (𝑋 + 𝑅) ≤ 𝐷)))
2918, 20, 283bitr4d 213 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 + 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cr 6916   + caddc 6920  cle 7090  [,]cicc 8831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-icc 8835
This theorem is referenced by:  iccshftri  8934  lincmb01cmp  8942
  Copyright terms: Public domain W3C validator