Theorem iscn2 12374

Description: The predicate "the class 𝐹 is a continuous function from topology 𝐽 to topology 𝐾". Definition of continuous function in [Munkres] p. 102. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscn.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
iscn.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾

Assertion

Ref	Expression
iscn2	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝐹   𝑦,𝑌

Proof of Theorem iscn2

Dummy variables 𝑓 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cn 12362	. . 3 ⊢ Cn = (𝑗 ∈ Top, 𝑘 ∈ Top ↦ {𝑓 ∈ (∪ 𝑘 ↑𝑚 ∪ 𝑗) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑘 (◡𝑓 “ 𝑦) ∈ 𝑗})
2	1	elmpocl 5968	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top))
3		iscn.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	toptopon 12190	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5		iscn.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
6	5	toptopon 12190	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
7		iscn 12371	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
8	4, 6, 7	syl2anb 289	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
9	2, 8	biadanii 602	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  {crab 2420  ∪ cuni 3736  ^◡ccnv 4538   “ cima 4542  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542  Topctop 12169  TopOnctopon 12182   Cn ccn 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-map 6544  df-top 12170  df-topon 12183  df-cn 12362

This theorem is referenced by:  cntop1  12375  cntop2  12376  cnf  12378  cnima  12394  cnco  12395