ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lemul2d GIF version

Theorem lemul2d 8765
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltmul1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltmul1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
lemul2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lemul2d
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltmul1d.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltmul1d.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
43rpregt0d 8727 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
5 lemul2 7898 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1146 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐴) ≤ (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cr 6946  0cc0 6947   · cmul 6952   < clt 7119  cle 7120  +crp 8681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-rp 8682
This theorem is referenced by:  abstri  9931
  Copyright terms: Public domain W3C validator