ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addcli GIF version

Theorem nn0addcli 8444
Description: Closure of addition of nonnegative integers, inference form. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0addcl.1 𝑀 ∈ ℕ0
nn0addcl.2 𝑁 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0addcli (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0

Proof of Theorem nn0addcli
StepHypRef Expression
1 nn0addcl.1 . 2 𝑀 ∈ ℕ0
2 nn0addcl.2 . 2 𝑁 ∈ ℕ0
3 nn0addcl 8442 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3mp2an 417 1 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1434  (class class class)co 5563   + caddc 7098  0cn0 8407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-i2m1 7195  ax-0id 7198
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-iota 4917  df-fv 4960  df-ov 5566  df-inn 8159  df-n0 8408
This theorem is referenced by:  numcl  8622  deccl  8624  numsucc  8649
  Copyright terms: Public domain W3C validator