ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reean GIF version

Theorem reean 2495
Description: Rearrange existential quantifiers. (Contributed by NM, 27-Oct-2010.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
reean.1 𝑦𝜑
reean.2 𝑥𝜓
Assertion
Ref Expression
reean (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem reean
StepHypRef Expression
1 an4 528 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝜑𝜓)) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑦𝐵𝜓)))
212exbii 1513 . . 3 (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝜑𝜓)) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑦𝐵𝜓)))
3 nfv 1437 . . . . 5 𝑦 𝑥𝐴
4 reean.1 . . . . 5 𝑦𝜑
53, 4nfan 1473 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝜑)
6 nfv 1437 . . . . 5 𝑥 𝑦𝐵
7 reean.2 . . . . 5 𝑥𝜓
86, 7nfan 1473 . . . 4 𝑥(𝑦𝐵𝜓)
95, 8eean 1822 . . 3 (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑦𝐵𝜓)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜓)))
102, 9bitri 177 . 2 (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝜑𝜓)) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜓)))
11 r2ex 2361 . 2 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ (𝜑𝜓)))
12 df-rex 2329 . . 3 (∃𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐴𝜑))
13 df-rex 2329 . . 3 (∃𝑦𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜓))
1412, 13anbi12i 441 . 2 ((∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝜓)))
1510, 11, 143bitr4i 205 1 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝜑𝜓) ↔ (∃𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∃𝑦𝐵 𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101  wb 102  wnf 1365  wex 1397  wcel 1409  wrex 2324
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-nf 1366  df-sb 1662  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-rex 2329
This theorem is referenced by:  reeanv  2496
  Copyright terms: Public domain W3C validator