Theorem restdis 12356

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 12257	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2	1	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
3		elpw2g 4081	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	3	biimpar 295	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
5		restopn2 12355	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
6	2, 4, 5	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
7		velpw 3517	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
8		sstr 3105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
9	8	expcom 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
10	9	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
11		velpw 3517	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	10, 11	syl6ibr 161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13	12	pm4.71rd 391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
14	7, 13	syl5bb 191	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
15	6, 14	bitr4d 190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
16	15	eqrdv 2137	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  (class class class)co 5774   ↾_t crest 12123  Topctop 12167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-rest 12125  df-topgen 12144  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213

This theorem is referenced by: (None)