Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  squeeze0 GIF version

Theorem squeeze0 7651
 Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
squeeze0 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → A = 0)
Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem squeeze0
StepHypRef Expression
1 ltnr 6892 . . . . 5 (A ℝ → ¬ A < A)
213ad2ant1 924 . . . 4 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → ¬ A < A)
3 breq2 3759 . . . . . . 7 (x = A → (0 < x ↔ 0 < A))
4 breq2 3759 . . . . . . 7 (x = A → (A < xA < A))
53, 4imbi12d 223 . . . . . 6 (x = A → ((0 < xA < x) ↔ (0 < AA < A)))
65rspcva 2648 . . . . 5 ((A x ℝ (0 < xA < x)) → (0 < AA < A))
763adant2 922 . . . 4 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → (0 < AA < A))
82, 7mtod 588 . . 3 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → ¬ 0 < A)
9 simp1 903 . . . 4 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → A ℝ)
10 0red 6826 . . . 4 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → 0 ℝ)
119, 10lenltd 6931 . . 3 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → (A ≤ 0 ↔ ¬ 0 < A))
128, 11mpbird 156 . 2 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → A ≤ 0)
13 simp2 904 . 2 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → 0 ≤ A)
149, 10letri3d 6930 . 2 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → (A = 0 ↔ (A ≤ 0 0 ≤ A)))
1512, 13, 14mpbir2and 850 1 ((A 0 ≤ A x ℝ (0 < xA < x)) → A = 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   class class class wbr 3755  ℝcr 6710  0cc0 6711   < clt 6857   ≤ cle 6858 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780  ax-rnegex 6792  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator