Theorem strsl0 12010

Description: All components of the empty set are empty sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
strsl0.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
strsl0	⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Proof of Theorem strsl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4055	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		strsl0.e	. . . 4 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
3	2	simpli 110	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4	2	simpri 112	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
5	1, 3, 4	strnfvn 11983	. 2 ⊢ (𝐸‘∅) = (∅‘(𝐸‘ndx))
6		0fv 5456	. 2 ⊢ (∅‘(𝐸‘ndx)) = ∅
7	5, 6	eqtr2i 2161	1 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∅c0 3363  ‘cfv 5123  ℕcn 8723  ndxcnx 11959  Slot cslot 11961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-slot 11966

This theorem is referenced by:  base0  12011