Theorem subap0d 8406

Description: Two numbers apart from each other have difference apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subap0d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
subap0d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subap0d.ap	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subap0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Proof of Theorem subap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subap0d.ap	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝐵)
2		subap0d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		subap0d.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	negcld 8060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
5		apadd1 8370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 𝐵 ↔ (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵)))
7	1, 6	mpbid 146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) # (𝐵 + -𝐵))
8	2, 3	negsubd 8079	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	3	negidd 8063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐵) = 0)
10	7, 8, 9	3brtr3d 3959	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620   + caddc 7623   − cmin 7933  -cneg 7934   # cap 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344

This theorem is referenced by:  abssubap0  10862  climuni  11062  pwm1geoserap1  11277  geolim  11280  geolim2  11281  georeclim  11282  geoisum1c  11289  tanaddap  11446  cnopnap  12763  limcimo  12803  dvlemap  12818  dvconst  12830  dvid  12831  dvcnp2cntop  12832  dvaddxxbr  12834  dvmulxxbr  12835  dvcoapbr  12840  dvcjbr  12841  dvrecap  12846  dvef  12856