Theorem xnn0add4d 9672

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum for extended addition of extended nonnegative integers, analogous to xadd4d 9671. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xnn0add4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
xnn0add4d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)

Assertion

Ref	Expression
xnn0add4d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Proof of Theorem xnn0add4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnn0add4d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0*)
2		xnn0xrnemnf 9055	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0* → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞))
4		xnn0add4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ0*)
5		xnn0xrnemnf 9055	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0* → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ -∞))
7		xnn0add4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0*)
8		xnn0xrnemnf 9055	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0* → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
9	7, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ -∞))
10		xnn0add4d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0*)
11		xnn0xrnemnf 9055	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ0* → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
12	10, 11	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ≠ -∞))
13	3, 6, 9, 12	xadd4d 9671	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +𝑒 𝐵) +𝑒 (𝐶 +𝑒 𝐷)) = ((𝐴 +𝑒 𝐶) +𝑒 (𝐵 +𝑒 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  (class class class)co 5774  -∞cmnf 7801  ℝ^*cxr 7802  ℕ₀^*cxnn0 9043   +_𝑒 cxad 9560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1re 7717  ax-addrcl 7720  ax-addcom 7723  ax-addass 7725  ax-rnegex 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-inn 8724  df-n0 8981  df-xnn0 9044  df-xadd 9563

This theorem is referenced by: (None)