Theorem xp0 4958

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
xp0	⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Proof of Theorem xp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 4619	. . 3 ⊢ (∅ × 𝐴) = ∅
2	1	cnveqi 4714	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = ◡∅
3		cnvxp 4957	. 2 ⊢ ◡(∅ × 𝐴) = (𝐴 × ∅)
4		cnv0 4942	. 2 ⊢ ◡∅ = ∅
5	2, 3, 4	3eqtr3i 2168	1 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1331  ∅c0 3363   × cxp 4537  ^◡ccnv 4538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547

This theorem is referenced by:  xpeq0r  4961  xpdisj2  4964  djuassen  7073  xpdjuen  7074  0met  12553