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Definition df-hpg 25550
Description: Define the open half plane relation for a geometry 𝐺. Definition 9.7 of [Schwabhauser] p. 71. See hpgbr 25552 to find the same formulation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
df-hpg hpG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑔,𝑖,𝑝,𝑡

Detailed syntax breakdown of Definition df-hpg
StepHypRef Expression
1 chpg 25549 . 2 class hpG
2 vg . . 3 setvar 𝑔
3 cvv 3186 . . 3 class V
4 vd . . . 4 setvar 𝑑
52cv 1479 . . . . . 6 class 𝑔
6 clng 25236 . . . . . 6 class LineG
75, 6cfv 5847 . . . . 5 class (LineG‘𝑔)
87crn 5075 . . . 4 class ran (LineG‘𝑔)
9 va . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑎
109cv 1479 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑎
11 vp . . . . . . . . . . . . . 14 setvar 𝑝
1211cv 1479 . . . . . . . . . . . . 13 class 𝑝
134cv 1479 . . . . . . . . . . . . 13 class 𝑑
1412, 13cdif 3552 . . . . . . . . . . . 12 class (𝑝𝑑)
1510, 14wcel 1987 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑎 ∈ (𝑝𝑑)
16 vc . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑐
1716cv 1479 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑐
1817, 14wcel 1987 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)
1915, 18wa 384 . . . . . . . . . 10 wff (𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑))
20 vt . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑡
2120cv 1479 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑡
22 vi . . . . . . . . . . . . . 14 setvar 𝑖
2322cv 1479 . . . . . . . . . . . . 13 class 𝑖
2410, 17, 23co 6604 . . . . . . . . . . . 12 class (𝑎𝑖𝑐)
2521, 24wcel 1987 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)
2625, 20, 13wrex 2908 . . . . . . . . . 10 wff 𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)
2719, 26wa 384 . . . . . . . . 9 wff ((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐))
28 vb . . . . . . . . . . . . 13 setvar 𝑏
2928cv 1479 . . . . . . . . . . . 12 class 𝑏
3029, 14wcel 1987 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑏 ∈ (𝑝𝑑)
3130, 18wa 384 . . . . . . . . . 10 wff (𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑))
3229, 17, 23co 6604 . . . . . . . . . . . 12 class (𝑏𝑖𝑐)
3321, 32wcel 1987 . . . . . . . . . . 11 wff 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)
3433, 20, 13wrex 2908 . . . . . . . . . 10 wff 𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)
3531, 34wa 384 . . . . . . . . 9 wff ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐))
3627, 35wa 384 . . . . . . . 8 wff (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
3736, 16, 12wrex 2908 . . . . . . 7 wff 𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
38 citv 25235 . . . . . . . 8 class Itv
395, 38cfv 5847 . . . . . . 7 class (Itv‘𝑔)
4037, 22, 39wsbc 3417 . . . . . 6 wff [(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
41 cbs 15781 . . . . . . 7 class Base
425, 41cfv 5847 . . . . . 6 class (Base‘𝑔)
4340, 11, 42wsbc 3417 . . . . 5 wff [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))
4443, 9, 28copab 4672 . . . 4 class {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}
454, 8, 44cmpt 4673 . . 3 class (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))})
462, 3, 45cmpt 4673 . 2 class (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}))
471, 46wceq 1480 1 wff hpG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑑 ∈ ran (LineG‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(Itv‘𝑔) / 𝑖]𝑐𝑝 (((𝑎 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑎𝑖𝑐)) ∧ ((𝑏 ∈ (𝑝𝑑) ∧ 𝑐 ∈ (𝑝𝑑)) ∧ ∃𝑡𝑑 𝑡 ∈ (𝑏𝑖𝑐)))}))
Colors of variables: wff setvar class
This definition is referenced by:  ishpg  25551
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