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Theorem vinf 4555
Description: The universe is infinite. Theorem X.1.63 of [Rosser] p. 536. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
vinf Fin

Proof of Theorem vinf
StepHypRef Expression
1 noel 3554 . 2 Ncfin Spfin
2 spfinex 4537 . . . . . . . 8 Spfin
3 ncfinprop 4474 . . . . . . . 8 Fin Spfin Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin
42, 3mpan2 652 . . . . . . 7 Fin Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin
5 ne0i 3556 . . . . . . . 8 Spfin Ncfin Spfin Ncfin Spfin
65anim2i 552 . . . . . . 7 Ncfin Spfin Nn Spfin Ncfin Spfin Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin
74, 6syl 15 . . . . . 6 Fin Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin
8 eldifsn 3839 . . . . . 6 Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin Nn Ncfin Spfin
97, 8sylibr 203 . . . . 5 Fin Ncfin Spfin Nn
10 evenoddnnnul 4514 . . . . 5 Evenfin Oddfin Nn
119, 10syl6eleqr 2444 . . . 4 Fin Ncfin Spfin Evenfin Oddfin
12 vfinncsp 4554 . . . . . . . . . 10 Fin Ncfin Spfin Tfin Ncfin Spfin 1c
1312adantr 451 . . . . . . . . 9 Fin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Tfin Ncfin Spfin 1c
14 eventfin 4517 . . . . . . . . . . 11 Ncfin Spfin Evenfin Tfin Ncfin Spfin Evenfin
1514adantl 452 . . . . . . . . . 10 Fin Ncfin Spfin Evenfin Tfin Ncfin Spfin Evenfin
16 evennnul 4508 . . . . . . . . . . . 12 Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin
1716adantl 452 . . . . . . . . . . 11 Fin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin
1813, 17eqnetrrd 2536 . . . . . . . . . 10 Fin Ncfin Spfin Evenfin Tfin Ncfin Spfin 1c
19 sucevenodd 4510 . . . . . . . . . 10 Tfin Ncfin Spfin Evenfin Tfin Ncfin Spfin 1c Tfin Ncfin Spfin 1c Oddfin
2015, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9 Fin Ncfin Spfin Evenfin Tfin Ncfin Spfin 1c Oddfin
2113, 20eqeltrd 2427 . . . . . . . 8 Fin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
2221ex 423 . . . . . . 7 Fin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
2322ancld 536 . . . . . 6 Fin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
2412adantr 451 . . . . . . . . 9 Fin Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin Tfin Ncfin Spfin 1c
25 oddtfin 4518 . . . . . . . . . . 11 Ncfin Spfin Oddfin Tfin Ncfin Spfin Oddfin
2625adantl 452 . . . . . . . . . 10 Fin Ncfin Spfin Oddfin Tfin Ncfin Spfin Oddfin
27 oddnnul 4509 . . . . . . . . . . . 12 Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin
2827adantl 452 . . . . . . . . . . 11 Fin Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin
2924, 28eqnetrrd 2536 . . . . . . . . . 10 Fin Ncfin Spfin Oddfin Tfin Ncfin Spfin 1c
30 sucoddeven 4511 . . . . . . . . . 10 Tfin Ncfin Spfin Oddfin Tfin Ncfin Spfin 1c Tfin Ncfin Spfin 1c Evenfin
3126, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . 9 Fin Ncfin Spfin Oddfin Tfin Ncfin Spfin 1c Evenfin
3224, 31eqeltrd 2427 . . . . . . . 8 Fin Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin
3332ex 423 . . . . . . 7 Fin Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin
3433ancrd 537 . . . . . 6 Fin Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
3523, 34jaod 369 . . . . 5 Fin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
36 elun 3220 . . . . 5 Ncfin Spfin Evenfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
37 elin 3219 . . . . 5 Ncfin Spfin Evenfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin Ncfin Spfin Oddfin
3835, 36, 373imtr4g 261 . . . 4 Fin Ncfin Spfin Evenfin Oddfin Ncfin Spfin Evenfin Oddfin
3911, 38mpd 14 . . 3 Fin Ncfin Spfin Evenfin Oddfin
40 evenodddisj 4516 . . 3 Evenfin Oddfin
4139, 40syl6eleq 2443 . 2 Fin Ncfin Spfin
421, 41mto 167 1 Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wo 357   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2516  cvv 2859   cdif 3206   cun 3207   cin 3208  c0 3550  csn 3737  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   cplc 4375   Fin cfin 4376   Ncfin cncfin 4433   Tfin ctfin 4434   Evenfin cevenfin 4435   Oddfin coddfin 4436   Spfin cspfin 4438
This theorem is referenced by:  nulnnn  4556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4439  df-ltfin 4440  df-ncfin 4441  df-tfin 4442  df-evenfin 4443  df-oddfin 4444  df-sfin 4445  df-spfin 4446
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