NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nncdiv3 GIF version

Theorem nncdiv3 6277
Description: Divisibility by three rule for finite cardinals. Part of Theorem 3.4 of [Specker] p. 973. (Contributed by SF, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nncdiv3 (A Nnn Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
Distinct variable group:   A,n

Proof of Theorem nncdiv3
Dummy variables m a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncdiv3lem2 6276 . 2 {a n Nn (a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c))} V
2 eqeq1 2359 . . . 4 (a = 0c → (a = ((n +c n) +c n) ↔ 0c = ((n +c n) +c n)))
3 eqeq1 2359 . . . 4 (a = 0c → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
4 eqeq1 2359 . . . 4 (a = 0c → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
52, 3, 43orbi123d 1251 . . 3 (a = 0c → ((a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (0c = ((n +c n) +c n) 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
65rexbidv 2635 . 2 (a = 0c → (n Nn (a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ n Nn (0c = ((n +c n) +c n) 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
7 eqeq1 2359 . . . 4 (a = m → (a = ((n +c n) +c n) ↔ m = ((n +c n) +c n)))
8 eqeq1 2359 . . . 4 (a = m → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ m = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
9 eqeq1 2359 . . . 4 (a = m → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
107, 8, 93orbi123d 1251 . . 3 (a = m → ((a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c) m = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
1110rexbidv 2635 . 2 (a = m → (n Nn (a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c) m = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
12 eqeq1 2359 . . . 4 (a = (m +c 1c) → (a = ((n +c n) +c n) ↔ (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
13 eqeq1 2359 . . . 4 (a = (m +c 1c) → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
14 eqeq1 2359 . . . 4 (a = (m +c 1c) → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
1512, 13, 143orbi123d 1251 . . 3 (a = (m +c 1c) → ((a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
1615rexbidv 2635 . 2 (a = (m +c 1c) → (n Nn (a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
17 eqeq1 2359 . . . 4 (a = A → (a = ((n +c n) +c n) ↔ A = ((n +c n) +c n)))
18 eqeq1 2359 . . . 4 (a = A → (a = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ A = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
19 eqeq1 2359 . . . 4 (a = A → (a = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
2017, 18, 193orbi123d 1251 . . 3 (a = A → ((a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
2120rexbidv 2635 . 2 (a = A → (n Nn (a = ((n +c n) +c n) a = (((n +c n) +c n) +c 1c) a = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ n Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
22 peano1 4402 . . 3 0c Nn
23 addcid1 4405 . . . . 5 ((0c +c 0c) +c 0c) = (0c +c 0c)
24 addcid2 4407 . . . . 5 (0c +c 0c) = 0c
2523, 24eqtr2i 2374 . . . 4 0c = ((0c +c 0c) +c 0c)
26 3mix1 1124 . . . 4 (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) → (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c)))
2725, 26ax-mp 8 . . 3 (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))
28 addceq12 4385 . . . . . . . 8 ((n = 0c n = 0c) → (n +c n) = (0c +c 0c))
2928anidms 626 . . . . . . 7 (n = 0c → (n +c n) = (0c +c 0c))
30 id 19 . . . . . . 7 (n = 0cn = 0c)
3129, 30addceq12d 4391 . . . . . 6 (n = 0c → ((n +c n) +c n) = ((0c +c 0c) +c 0c))
3231eqeq2d 2364 . . . . 5 (n = 0c → (0c = ((n +c n) +c n) ↔ 0c = ((0c +c 0c) +c 0c)))
3331addceq1d 4389 . . . . . 6 (n = 0c → (((n +c n) +c n) +c 1c) = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c))
3433eqeq2d 2364 . . . . 5 (n = 0c → (0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c)))
3531addceq1d 4389 . . . . . 6 (n = 0c → (((n +c n) +c n) +c 2c) = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))
3635eqeq2d 2364 . . . . 5 (n = 0c → (0c = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c)))
3732, 34, 363orbi123d 1251 . . . 4 (n = 0c → ((0c = ((n +c n) +c n) 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))))
3837rspcev 2955 . . 3 ((0c Nn (0c = ((0c +c 0c) +c 0c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 1c) 0c = (((0c +c 0c) +c 0c) +c 2c))) → n Nn (0c = ((n +c n) +c n) 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
3922, 27, 38mp2an 653 . 2 n Nn (0c = ((n +c n) +c n) 0c = (((n +c n) +c n) +c 1c) 0c = (((n +c n) +c n) +c 2c))
40 addceq1 4383 . . . . . 6 (m = ((n +c n) +c n) → (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c))
4140reximi 2721 . . . . 5 (n Nn m = ((n +c n) +c n) → n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c))
4241a1i 10 . . . 4 (m Nn → (n Nn m = ((n +c n) +c n) → n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
43 addceq1 4383 . . . . . . 7 (m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (m +c 1c) = ((((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
44 addcass 4415 . . . . . . . 8 ((((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c (1c +c 1c))
45 1p1e2c 6155 . . . . . . . . 9 (1c +c 1c) = 2c
4645addceq2i 4387 . . . . . . . 8 (((n +c n) +c n) +c (1c +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c)
4744, 46eqtri 2373 . . . . . . 7 ((((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)
4843, 47syl6eq 2401 . . . . . 6 (m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
4948reximi 2721 . . . . 5 (n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
5049a1i 10 . . . 4 (m Nn → (n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) → n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
51 peano2 4403 . . . . . . . . 9 (n Nn → (n +c 1c) Nn )
52 addc32 4416 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c n) +c n) +c 2c) = (((n +c n) +c 2c) +c n)
5345addceq2i 4387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((n +c n) +c (1c +c 1c)) = ((n +c n) +c 2c)
54 addc4 4417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((n +c n) +c (1c +c 1c)) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
5553, 54eqtr3i 2375 . . . . . . . . . . . . 13 ((n +c n) +c 2c) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c))
5655addceq1i 4386 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c n) +c 2c) +c n) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n)
5752, 56eqtri 2373 . . . . . . . . . . 11 (((n +c n) +c n) +c 2c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n)
5857addceq1i 4386 . . . . . . . . . 10 ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n) +c 1c)
59 addcass 4415 . . . . . . . . . 10 ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c n) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
6058, 59eqtri 2373 . . . . . . . . 9 ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
61 addceq12 4385 . . . . . . . . . . . . 13 ((a = (n +c 1c) a = (n +c 1c)) → (a +c a) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
6261anidms 626 . . . . . . . . . . . 12 (a = (n +c 1c) → (a +c a) = ((n +c 1c) +c (n +c 1c)))
63 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (a = (n +c 1c) → a = (n +c 1c))
6462, 63addceq12d 4391 . . . . . . . . . . 11 (a = (n +c 1c) → ((a +c a) +c a) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
6564eqeq2d 2364 . . . . . . . . . 10 (a = (n +c 1c) → (((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))))
6665rspcev 2955 . . . . . . . . 9 (((n +c 1c) Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))) → a Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a))
6751, 60, 66sylancl 643 . . . . . . . 8 (n Nna Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a))
68 addceq1 4383 . . . . . . . . . 10 (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (m +c 1c) = ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
6968eqeq1d 2361 . . . . . . . . 9 (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ((m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a)))
7069rexbidv 2635 . . . . . . . 8 (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (a Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ a Nn ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ((a +c a) +c a)))
7167, 70syl5ibrcom 213 . . . . . . 7 (n Nn → (m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → a Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a)))
7271rexlimiv 2732 . . . . . 6 (n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → a Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a))
73 addceq12 4385 . . . . . . . . . 10 ((a = n a = n) → (a +c a) = (n +c n))
7473anidms 626 . . . . . . . . 9 (a = n → (a +c a) = (n +c n))
75 id 19 . . . . . . . . 9 (a = na = n)
7674, 75addceq12d 4391 . . . . . . . 8 (a = n → ((a +c a) +c a) = ((n +c n) +c n))
7776eqeq2d 2364 . . . . . . 7 (a = n → ((m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
7877cbvrexv 2836 . . . . . 6 (a Nn (m +c 1c) = ((a +c a) +c a) ↔ n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n))
7972, 78sylib 188 . . . . 5 (n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n))
8079a1i 10 . . . 4 (m Nn → (n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c) → n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
8142, 50, 803orim123d 1260 . . 3 (m Nn → ((n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → (n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n))))
82 df-3or 935 . . . . 5 ((m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
8382rexbii 2639 . . . 4 (n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ n Nn ((m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
84 r19.43 2766 . . . . . 6 (n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ↔ (n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
8584orbi1i 506 . . . . 5 ((n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
86 r19.43 2766 . . . . 5 (n Nn ((m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
87 df-3or 935 . . . . 5 ((n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
8885, 86, 873bitr4i 268 . . . 4 (n Nn ((m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c)) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
8983, 88bitri 240 . . 3 (n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn m = ((n +c n) +c n) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn m = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
90 df-3or 935 . . . . 5 (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
9190rexbii 2639 . . . 4 (n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ n Nn (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
92 r19.43 2766 . . . . 5 (n Nn (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
93 r19.43 2766 . . . . . . 7 (n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) ↔ (n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)))
9493orbi1i 506 . . . . . 6 ((n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
95 df-3or 935 . . . . . 6 ((n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ ((n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
96 3orrot 940 . . . . . 6 ((n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
9794, 95, 963bitr2i 264 . . . . 5 ((n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
9892, 97bitri 240 . . . 4 (n Nn (((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c)) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
9991, 98bitri 240 . . 3 (n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c)) ↔ (n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) n Nn (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) n Nn (m +c 1c) = ((n +c n) +c n)))
10081, 89, 993imtr4g 261 . 2 (m Nn → (n Nn (m = ((n +c n) +c n) m = (((n +c n) +c n) +c 1c) m = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → n Nn ((m +c 1c) = ((n +c n) +c n) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 1c) (m +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))))
1011, 6, 11, 16, 21, 39, 100finds 4411 1 (A Nnn Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wo 357   w3o 933   = wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375  2cc2c 6094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-nc 6101  df-2c 6104
This theorem is referenced by:  nchoicelem1  6289  nchoicelem2  6290
  Copyright terms: Public domain W3C validator