NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nchoicelem1 GIF version

Theorem nchoicelem1 6289
Description: Lemma for nchoice 6308. A finite cardinal is not one more than its T-raising. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nchoicelem1 (A Nn → ¬ A = ( Tc A +c 1c))

Proof of Theorem nchoicelem1
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncdiv3 6277 . 2 (A Nnn Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
2 id 19 . . . . . . 7 (n Nnn Nn )
3 nntccl 6170 . . . . . . 7 (n NnTc n Nn )
4 nnc3n3p1 6278 . . . . . . 7 ((n Nn Tc n Nn ) → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6 (n Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
6 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . 12 ((n Nn n Nn ) → (n +c n) Nn )
76anidms 626 . . . . . . . . . . 11 (n Nn → (n +c n) Nn )
8 nnnc 6146 . . . . . . . . . . 11 ((n +c n) Nn → (n +c n) NC )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10 (n Nn → (n +c n) NC )
10 nnnc 6146 . . . . . . . . . 10 (n Nnn NC )
11 tcdi 6164 . . . . . . . . . 10 (((n +c n) NC n NC ) → Tc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . 9 (n NnTc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
13 tcdi 6164 . . . . . . . . . . 11 ((n NC n NC ) → Tc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
1410, 10, 13syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 (n NnTc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
1514addceq1d 4389 . . . . . . . . 9 (n Nn → ( Tc (n +c n) +c Tc n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
1612, 15eqtrd 2385 . . . . . . . 8 (n NnTc ((n +c n) +c n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
1716addceq1d 4389 . . . . . . 7 (n Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
1817eqeq2d 2364 . . . . . 6 (n Nn → (((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c)))
195, 18mtbird 292 . . . . 5 (n Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c))
20 id 19 . . . . . . 7 (A = ((n +c n) +c n) → A = ((n +c n) +c n))
21 tceq 6158 . . . . . . . 8 (A = ((n +c n) +c n) → Tc A = Tc ((n +c n) +c n))
2221addceq1d 4389 . . . . . . 7 (A = ((n +c n) +c n) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c))
2320, 22eqeq12d 2367 . . . . . 6 (A = ((n +c n) +c n) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c)))
2423notbid 285 . . . . 5 (A = ((n +c n) +c n) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c)))
2519, 24syl5ibrcom 213 . . . 4 (n Nn → (A = ((n +c n) +c n) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
26 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c n) Nn n Nn ) → ((n +c n) +c n) Nn )
277, 2, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 (n Nn → ((n +c n) +c n) Nn )
28 nnnc 6146 . . . . . . . . . . 11 (((n +c n) +c n) Nn → ((n +c n) +c n) NC )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . . 10 (n Nn → ((n +c n) +c n) NC )
30 1cnc 6139 . . . . . . . . . 10 1c NC
31 tcdi 6164 . . . . . . . . . 10 ((((n +c n) +c n) NC 1c NC ) → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
3229, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . 9 (n NnTc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
33 tc1c 6165 . . . . . . . . . . 11 Tc 1c = 1c
3433a1i 10 . . . . . . . . . 10 (n NnTc 1c = 1c)
3516, 34addceq12d 4391 . . . . . . . . 9 (n Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
3632, 35eqtrd 2385 . . . . . . . 8 (n NnTc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
3736eqeq2d 2364 . . . . . . 7 (n Nn → (((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c)))
385, 37mtbird 292 . . . . . 6 (n Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
39 peano2 4403 . . . . . . . . 9 (((n +c n) +c n) Nn → (((n +c n) +c n) +c 1c) Nn )
4027, 39syl 15 . . . . . . . 8 (n Nn → (((n +c n) +c n) +c 1c) Nn )
41 nntccl 6170 . . . . . . . 8 ((((n +c n) +c n) +c 1c) NnTc (((n +c n) +c n) +c 1c) Nn )
4240, 41syl 15 . . . . . . 7 (n NnTc (((n +c n) +c n) +c 1c) Nn )
43 suc11nnc 4558 . . . . . . 7 ((((n +c n) +c n) Nn Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) Nn ) → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c)))
4427, 42, 43syl2anc 642 . . . . . 6 (n Nn → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c)))
4538, 44mtbird 292 . . . . 5 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
46 id 19 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → A = (((n +c n) +c n) +c 1c))
47 tceq 6158 . . . . . . . 8 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
4847addceq1d 4389 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
4946, 48eqeq12d 2367 . . . . . 6 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c)))
5049notbid 285 . . . . 5 (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c)))
5145, 50syl5ibrcom 213 . . . 4 (n Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
52 peano2 4403 . . . . . . . . 9 (n Nn → (n +c 1c) Nn )
53 nntccl 6170 . . . . . . . . 9 ((n +c 1c) NnTc (n +c 1c) Nn )
5452, 53syl 15 . . . . . . . 8 (n NnTc (n +c 1c) Nn )
55 nnc3n3p2 6279 . . . . . . . 8 (( Tc (n +c 1c) Nn n Nn ) → ¬ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
5654, 2, 55syl2anc 642 . . . . . . 7 (n Nn → ¬ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
57 2nnc 6167 . . . . . . . . . . . . . 14 2c Nn
58 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((n +c n) +c n) Nn 2c Nn ) → (((n +c n) +c n) +c 2c) Nn )
5927, 57, 58sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13 (n Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) Nn )
60 nnnc 6146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((n +c n) +c n) +c 2c) Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) NC )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12 (n Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) NC )
62 tcdi 6164 . . . . . . . . . . . 12 (((((n +c n) +c n) +c 2c) NC 1c NC ) → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c))
6361, 30, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . 11 (n NnTc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c))
6463eqcomd 2358 . . . . . . . . . 10 (n Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
6533addceq2i 4387 . . . . . . . . . 10 ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)
66 addccom 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1c +c 1c) +c n) = (n +c (1c +c 1c))
67 1p1e2c 6155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1c +c 1c) = 2c
6867addceq2i 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (n +c (1c +c 1c)) = (n +c 2c)
6966, 68eqtr2i 2374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (n +c 2c) = ((1c +c 1c) +c n)
7069addceq1i 4386 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((n +c 2c) +c 1c) = (((1c +c 1c) +c n) +c 1c)
71 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((n +c 2c) +c 1c) = (n +c (2c +c 1c))
72 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1c +c 1c) +c n) +c 1c) = ((1c +c 1c) +c (n +c 1c))
7370, 71, 723eqtr3i 2381 . . . . . . . . . . . . . 14 (n +c (2c +c 1c)) = ((1c +c 1c) +c (n +c 1c))
7473addceq2i 4387 . . . . . . . . . . . . 13 ((n +c n) +c (n +c (2c +c 1c))) = ((n +c n) +c ((1c +c 1c) +c (n +c 1c)))
75 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . 13 (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c)) = ((n +c n) +c (n +c (2c +c 1c)))
76 addcass 4415 . . . . . . . . . . . . 13 (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ((n +c n) +c ((1c +c 1c) +c (n +c 1c)))
7774, 75, 763eqtr4i 2383 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c)) = (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c))
78 addcass 4415 . . . . . . . . . . . 12 ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c))
79 addc4 4417 . . . . . . . . . . . . 13 ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ((n +c n) +c (1c +c 1c))
8079addceq1i 4386 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c))
8177, 78, 803eqtr4i 2383 . . . . . . . . . . 11 ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
82 tceq 6158 . . . . . . . . . . 11 (((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
8381, 82ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
8464, 65, 833eqtr3g 2408 . . . . . . . . 9 (n Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
85 nnnc 6146 . . . . . . . . . . . . 13 ((n +c 1c) Nn → (n +c 1c) NC )
8652, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12 (n Nn → (n +c 1c) NC )
87 ncaddccl 6144 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c 1c) NC (n +c 1c) NC ) → ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) NC )
8886, 86, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 (n Nn → ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) NC )
89 tcdi 6164 . . . . . . . . . . 11 ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) NC (n +c 1c) NC ) → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
9088, 86, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 (n NnTc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
91 tcdi 6164 . . . . . . . . . . . 12 (((n +c 1c) NC (n +c 1c) NC ) → Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)))
9286, 86, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 (n NnTc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)))
9392addceq1d 4389 . . . . . . . . . 10 (n Nn → ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
9490, 93eqtrd 2385 . . . . . . . . 9 (n NnTc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
9584, 94eqtrd 2385 . . . . . . . 8 (n Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
9695eqeq1d 2361 . . . . . . 7 (n Nn → (( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
9756, 96mtbird 292 . . . . . 6 (n Nn → ¬ ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
98 eqcom 2355 . . . . . 6 (( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
9997, 98sylnib 295 . . . . 5 (n Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
100 id 19 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → A = (((n +c n) +c n) +c 2c))
101 tceq 6158 . . . . . . . 8 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 2c))
102101addceq1d 4389 . . . . . . 7 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
103100, 102eqeq12d 2367 . . . . . 6 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)))
104103notbid 285 . . . . 5 (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)))
10599, 104syl5ibrcom 213 . . . 4 (n Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
10625, 51, 1053jaod 1246 . . 3 (n Nn → ((A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
107106rexlimiv 2732 . 2 (n Nn (A = ((n +c n) +c n) A = (((n +c n) +c n) +c 1c) A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 1c))
1081, 107syl 15 1 (A Nn → ¬ A = ( Tc A +c 1c))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 176   w3o 933   = wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   NC cncs 6088   Tc ctc 6093  2cc2c 6094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-cup 5742  df-disj 5744  df-addcfn 5746  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-nc 6101  df-tc 6103  df-2c 6104
This theorem is referenced by:  nchoice  6308
  Copyright terms: Public domain W3C validator