Definition df-srg 13726

Description: Define class of all semirings. A semiring is a set equipped with two everywhere-defined internal operations, whose first one is an additive commutative monoid structure and the second one is a multiplicative monoid structure, and where multiplication is (left- and right-) distributive over addition. Like with rings, the additive identity is an absorbing element of the multiplicative law, but in the case of semirings, this has to be part of the definition, as it cannot be deduced from distributivity alone. Definition of [Golan] p. 1. Note that our semirings are unital. Such semirings are sometimes called "rigs", being "rings without negatives". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
df-srg	|- SRing = { f e. CMnd | ( (mulGrp ` f ) e. Mnd /\ [. ( Base ` f ) / r ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }

Distinct variable group:   f, n, p, r, t, x, y, z

Detailed syntax breakdown of Definition df-srg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csrg 13725	. 2 class SRing
2		vf	. . . . . . 7 setvar f
3	2	cv 1372	. . . . . 6 class f
4		cmgp 13682	. . . . . 6 class mulGrp
5	3, 4	cfv 5271	. . . . 5 class (mulGrp ` f )
6		cmnd 13248	. . . . 5 class Mnd
7	5, 6	wcel 2176	. . . 4 wff (mulGrp ` f ) e. Mnd
8		vx	. . . . . . . . . . . . . . . 16 setvar x
9	8	cv 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 class x
10		vy	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 setvar y
11	10	cv 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 class y
12		vz	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 setvar z
13	12	cv 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 class z
14		vp	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 setvar p
15	14	cv 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 class p
16	11, 13, 15	co 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 class ( y p z )
17		vt	. . . . . . . . . . . . . . . 16 setvar t
18	17	cv 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 class t
19	9, 16, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 class ( x t ( y p z ) )
20	9, 11, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 class ( x t y )
21	9, 13, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 class ( x t z )
22	20, 21, 15	co 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 class ( ( x t y ) p ( x t z ) )
23	19, 22	wceq 1373	. . . . . . . . . . . . 13 wff ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) )
24	9, 11, 15	co 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 class ( x p y )
25	24, 13, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 class ( ( x p y ) t z )
26	11, 13, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . . . . 15 class ( y t z )
27	21, 26, 15	co 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 class ( ( x t z ) p ( y t z ) )
28	25, 27	wceq 1373	. . . . . . . . . . . . 13 wff ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) )
29	23, 28	wa 104	. . . . . . . . . . . 12 wff ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )
30		vr	. . . . . . . . . . . . 13 setvar r
31	30	cv 1372	. . . . . . . . . . . 12 class r
32	29, 12, 31	wral 2484	. . . . . . . . . . 11 wff A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )
33	32, 10, 31	wral 2484	. . . . . . . . . 10 wff A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) )
34		vn	. . . . . . . . . . . . . 14 setvar n
35	34	cv 1372	. . . . . . . . . . . . 13 class n
36	35, 9, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . 12 class ( n t x )
37	36, 35	wceq 1373	. . . . . . . . . . 11 wff ( n t x ) = n
38	9, 35, 18	co 5944	. . . . . . . . . . . 12 class ( x t n )
39	38, 35	wceq 1373	. . . . . . . . . . 11 wff ( x t n ) = n
40	37, 39	wa 104	. . . . . . . . . 10 wff ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n )
41	33, 40	wa 104	. . . . . . . . 9 wff ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) )
42	41, 8, 31	wral 2484	. . . . . . . 8 wff A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) )
43		c0g 13088	. . . . . . . . 9 class 0g
44	3, 43	cfv 5271	. . . . . . . 8 class ( 0g ` f )
45	42, 34, 44	wsbc 2998	. . . . . . 7 wff [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) )
46		cmulr 12910	. . . . . . . 8 class .r
47	3, 46	cfv 5271	. . . . . . 7 class ( .r ` f )
48	45, 17, 47	wsbc 2998	. . . . . 6 wff [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) )
49		cplusg 12909	. . . . . . 7 class +g
50	3, 49	cfv 5271	. . . . . 6 class ( +g ` f )
51	48, 14, 50	wsbc 2998	. . . . 5 wff [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) )
52		cbs 12832	. . . . . 6 class Base
53	3, 52	cfv 5271	. . . . 5 class ( Base ` f )
54	51, 30, 53	wsbc 2998	. . . 4 wff [. ( Base ` f ) / r ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) )
55	7, 54	wa 104	. . 3 wff ( (mulGrp ` f ) e. Mnd /\ [. ( Base ` f ) / r ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) )
56		ccmn 13620	. . 3 class CMnd
57	55, 2, 56	crab 2488	. 2 class { f e. CMnd | ( (mulGrp ` f ) e. Mnd /\ [. ( Base ` f ) / r ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }
58	1, 57	wceq 1373	1 wff SRing = { f e. CMnd | ( (mulGrp ` f ) e. Mnd /\ [. ( Base ` f ) / r ]. [. ( +g ` f ) / p ]. [. ( .r ` f ) / t ]. [. ( 0g ` f ) / n ]. A. x e. r ( A. y e. r A. z e. r ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }

This definition is referenced by:  issrg  13727