Theorem issrg 13928

Description: The predicate "is a semiring". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrg.b	|- B = ( Base ` R )
issrg.g	|- G = (mulGrp ` R )
issrg.p	|- .+ = ( +g ` R )
issrg.t	|- .x. = ( .r ` R )
issrg.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
issrg	|- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .+   x, .0. , y, z   x, .x. , y, z   x, B, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem issrg

Dummy variables n b p r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. _V )
2		simp1 1021	. . 3 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) -> R e. CMnd )
3	2	elexd 2813	. 2 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) -> R e. _V )
4		issrg.g	. . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` R )
5	4	eleq1i 2295	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
6	5	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. _V -> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd ) )
8		issrg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
9		basfn 13091	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
10		funfvex 5644	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	10	funfni 5423	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	9, 11	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( R e. _V -> ( Base ` R ) e. _V )
13	8, 12	eqeltrid 2316	. . . . . 6 |- ( R e. _V -> B e. _V )
14		issrg.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` R )
15		plusgslid 13145	. . . . . . . . . 10 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 13059	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> ( +g ` R ) e. _V )
17	14, 16	eqeltrid 2316	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> .+ e. _V )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. _V /\ b = B ) -> .+ e. _V )
19		issrg.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .r ` R )
20		mulrslid 13165	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
21	20	slotex 13059	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. _V -> ( .r ` R ) e. _V )
22	19, 21	eqeltrid 2316	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> .x. e. _V )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> .x. e. _V )
24		issrg.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
25		fn0g 13408	. . . . . . . . . . . 12 |- 0g Fn _V
26		funfvex 5644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun 0g /\ R e. dom 0g ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
27	26	funfni 5423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0g Fn _V /\ R e. _V ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
28	25, 27	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. _V -> ( 0g ` R ) e. _V )
29	24, 28	eqeltrid 2316	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. _V -> .0. e. _V )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> .0. e. _V )
31		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> b = B )
32		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> t = .x. )
33		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> x = x )
34		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> p = .+ )
35	34	oveqd 6018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
36	32, 33, 35	oveq123d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
37	32	oveqd 6018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
38	32	oveqd 6018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
39	34, 37, 38	oveq123d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
40	36, 39	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
41	34	oveqd 6018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
42		eqidd 2230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> z = z )
43	32, 41, 42	oveq123d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
44	32	oveqd 6018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
45	34, 38, 44	oveq123d 6022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
46	43, 45	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
47	40, 46	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
48	31, 47	raleqbidv 2744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
49	31, 48	raleqbidv 2744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> n = .0. )
51	32, 50, 33	oveq123d 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( n t x ) = ( .0. .x. x ) )
52	51, 50	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( n t x ) = n <-> ( .0. .x. x ) = .0. ) )
53	32, 33, 50	oveq123d 6022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t n ) = ( x .x. .0. ) )
54	53, 50	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t n ) = n <-> ( x .x. .0. ) = .0. ) )
55	52, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) <-> ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) )
56	49, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
57	31, 56	raleqbidv 2744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
58	30, 57	sbcied 3065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
59	23, 58	sbcied 3065	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
60	18, 59	sbcied 3065	. . . . . 6 |- ( ( R e. _V /\ b = B ) -> ( [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
61	13, 60	sbcied 3065	. . . . 5 |- ( R e. _V -> ( [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
62	7, 61	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
63	62	anbi2d 464	. . 3 |- ( R e. _V -> ( ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) ) )
64		fveq2 5627	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
65	64	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd ) )
66		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
67	66, 8	eqtr4di 2280	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
68		fveq2 5627	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
69	68, 14	eqtr4di 2280	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = .+ )
70		fveq2 5627	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
71	70, 19	eqtr4di 2280	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
72		fveq2 5627	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
73	72, 24	eqtr4di 2280	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
74	73	sbceq1d 3033	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
75	71, 74	sbceqbid 3035	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
76	69, 75	sbceqbid 3035	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
77	67, 76	sbceqbid 3035	. . . . 5 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
78	65, 77	anbi12d 473	. . . 4 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
79		df-srg 13927	. . . 4 |- SRing = { r e. CMnd | ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }
80	78, 79	elrab2 2962	. . 3 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
81		3anass 1006	. . 3 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
82	63, 80, 81	3bitr4g 223	. 2 |- ( R e. _V -> ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
83	1, 3, 82	pm5.21nii 709	1 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   Fn wfn 5313   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   0gc0g 13289   Mndcmnd 13449  CMndccmn 13821  mulGrpcmgp 13883  SRingcsrg 13926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1re 8093  ax-addrcl 8096

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-srg 13927

This theorem is referenced by:  srgcmn  13929  srgmgp  13931  srgdilem  13932  srgrz  13947  srglz  13948  ringsrg  14010