Theorem issrg 13101

Description: The predicate "is a semiring". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrg.b	|- B = ( Base ` R )
issrg.g	|- G = (mulGrp ` R )
issrg.p	|- .+ = ( +g ` R )
issrg.t	|- .x. = ( .r ` R )
issrg.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
issrg	|- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .+   x, .0. , y, z   x, .x. , y, z   x, B, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem issrg

Dummy variables n b p r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. _V )
2		simp1 997	. . 3 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) -> R e. CMnd )
3	2	elexd 2750	. 2 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) -> R e. _V )
4		issrg.g	. . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` R )
5	4	eleq1i 2243	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
6	5	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. _V -> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd ) )
8		issrg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
9		basfn 12514	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
10		funfvex 5532	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	10	funfni 5316	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	9, 11	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( R e. _V -> ( Base ` R ) e. _V )
13	8, 12	eqeltrid 2264	. . . . . 6 |- ( R e. _V -> B e. _V )
14		issrg.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` R )
15		plusgslid 12565	. . . . . . . . . 10 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 12483	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> ( +g ` R ) e. _V )
17	14, 16	eqeltrid 2264	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> .+ e. _V )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. _V /\ b = B ) -> .+ e. _V )
19		issrg.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .r ` R )
20		mulrslid 12584	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
21	20	slotex 12483	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. _V -> ( .r ` R ) e. _V )
22	19, 21	eqeltrid 2264	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> .x. e. _V )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> .x. e. _V )
24		issrg.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
25		fn0g 12748	. . . . . . . . . . . 12 |- 0g Fn _V
26		funfvex 5532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun 0g /\ R e. dom 0g ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
27	26	funfni 5316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0g Fn _V /\ R e. _V ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
28	25, 27	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. _V -> ( 0g ` R ) e. _V )
29	24, 28	eqeltrid 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. _V -> .0. e. _V )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> .0. e. _V )
31		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> b = B )
32		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> t = .x. )
33		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> x = x )
34		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> p = .+ )
35	34	oveqd 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
36	32, 33, 35	oveq123d 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
37	32	oveqd 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
38	32	oveqd 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
39	34, 37, 38	oveq123d 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
40	36, 39	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
41	34	oveqd 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
42		eqidd 2178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> z = z )
43	32, 41, 42	oveq123d 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
44	32	oveqd 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
45	34, 38, 44	oveq123d 5895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
46	43, 45	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
47	40, 46	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
48	31, 47	raleqbidv 2684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
49	31, 48	raleqbidv 2684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> n = .0. )
51	32, 50, 33	oveq123d 5895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( n t x ) = ( .0. .x. x ) )
52	51, 50	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( n t x ) = n <-> ( .0. .x. x ) = .0. ) )
53	32, 33, 50	oveq123d 5895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t n ) = ( x .x. .0. ) )
54	53, 50	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t n ) = n <-> ( x .x. .0. ) = .0. ) )
55	52, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) <-> ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) )
56	49, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
57	31, 56	raleqbidv 2684	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
58	30, 57	sbcied 2999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
59	23, 58	sbcied 2999	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
60	18, 59	sbcied 2999	. . . . . 6 |- ( ( R e. _V /\ b = B ) -> ( [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
61	13, 60	sbcied 2999	. . . . 5 |- ( R e. _V -> ( [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
62	7, 61	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
63	62	anbi2d 464	. . 3 |- ( R e. _V -> ( ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) ) )
64		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
65	64	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd ) )
66		fveq2 5515	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
67	66, 8	eqtr4di 2228	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
68		fveq2 5515	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
69	68, 14	eqtr4di 2228	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = .+ )
70		fveq2 5515	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
71	70, 19	eqtr4di 2228	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
72		fveq2 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
73	72, 24	eqtr4di 2228	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
74	73	sbceq1d 2967	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
75	71, 74	sbceqbid 2969	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
76	69, 75	sbceqbid 2969	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
77	67, 76	sbceqbid 2969	. . . . 5 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
78	65, 77	anbi12d 473	. . . 4 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
79		df-srg 13100	. . . 4 |- SRing = { r e. CMnd | ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }
80	78, 79	elrab2 2896	. . 3 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
81		3anass 982	. . 3 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
82	63, 80, 81	3bitr4g 223	. 2 |- ( R e. _V -> ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
83	1, 3, 82	pm5.21nii 704	1 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   [.wsbc 2962   Fn wfn 5211   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   .rcmulr 12531   0gc0g 12695   Mndcmnd 12771  CMndccmn 13041  mulGrpcmgp 13083  SRingcsrg 13099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-srg 13100

This theorem is referenced by:  srgcmn  13102  srgmgp  13104  srgdilem  13105  srgrz  13120  srglz  13121  ringsrg  13177