Theorem issrg 13597

Description: The predicate "is a semiring". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
issrg.b	|- B = ( Base ` R )
issrg.g	|- G = (mulGrp ` R )
issrg.p	|- .+ = ( +g ` R )
issrg.t	|- .x. = ( .r ` R )
issrg.0	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
issrg	|- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .+   x, .0. , y, z   x, .x. , y, z   x, B, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   G( x, y, z)

Proof of Theorem issrg

Dummy variables n b p r t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 |- ( R e. SRing -> R e. _V )
2		simp1 999	. . 3 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) -> R e. CMnd )
3	2	elexd 2776	. 2 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) -> R e. _V )
4		issrg.g	. . . . . . . 8 |- G = (mulGrp ` R )
5	4	eleq1i 2262	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
6	5	bicomi 132	. . . . . 6 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd )
7	6	a1i 9	. . . . 5 |- ( R e. _V -> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd <-> G e. Mnd ) )
8		issrg.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
9		basfn 12761	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
10		funfvex 5578	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
11	10	funfni 5361	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
12	9, 11	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( R e. _V -> ( Base ` R ) e. _V )
13	8, 12	eqeltrid 2283	. . . . . 6 |- ( R e. _V -> B e. _V )
14		issrg.p	. . . . . . . . 9 |- .+ = ( +g ` R )
15		plusgslid 12815	. . . . . . . . . 10 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
16	15	slotex 12730	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> ( +g ` R ) e. _V )
17	14, 16	eqeltrid 2283	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> .+ e. _V )
18	17	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. _V /\ b = B ) -> .+ e. _V )
19		issrg.t	. . . . . . . . . 10 |- .x. = ( .r ` R )
20		mulrslid 12834	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r = Slot ( .r ` ndx ) /\ ( .r ` ndx ) e. NN )
21	20	slotex 12730	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. _V -> ( .r ` R ) e. _V )
22	19, 21	eqeltrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( R e. _V -> .x. e. _V )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> .x. e. _V )
24		issrg.0	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` R )
25		fn0g 13077	. . . . . . . . . . . 12 |- 0g Fn _V
26		funfvex 5578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun 0g /\ R e. dom 0g ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
27	26	funfni 5361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0g Fn _V /\ R e. _V ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
28	25, 27	mpan 424	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. _V -> ( 0g ` R ) e. _V )
29	24, 28	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. _V -> .0. e. _V )
30	29	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> .0. e. _V )
31		simp-4r 542	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> b = B )
32		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> t = .x. )
33		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> x = x )
34		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> p = .+ )
35	34	oveqd 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y p z ) = ( y .+ z ) )
36	32, 33, 35	oveq123d 5946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t ( y p z ) ) = ( x .x. ( y .+ z ) ) )
37	32	oveqd 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t y ) = ( x .x. y ) )
38	32	oveqd 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t z ) = ( x .x. z ) )
39	34, 37, 38	oveq123d 5946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t y ) p ( x t z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
40	36, 39	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) <-> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
41	34	oveqd 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x p y ) = ( x .+ y ) )
42		eqidd 2197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> z = z )
43	32, 41, 42	oveq123d 5946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x p y ) t z ) = ( ( x .+ y ) .x. z ) )
44	32	oveqd 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( y t z ) = ( y .x. z ) )
45	34, 38, 44	oveq123d 5946	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t z ) p ( y t z ) ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
46	43, 45	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) <-> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
47	40, 46	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
48	31, 47	raleqbidv 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
49	31, 48	raleqbidv 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) ) )
50		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> n = .0. )
51	32, 50, 33	oveq123d 5946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( n t x ) = ( .0. .x. x ) )
52	51, 50	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( n t x ) = n <-> ( .0. .x. x ) = .0. ) )
53	32, 33, 50	oveq123d 5946	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( x t n ) = ( x .x. .0. ) )
54	53, 50	eqeq12d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( x t n ) = n <-> ( x .x. .0. ) = .0. ) )
55	52, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) <-> ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) )
56	49, 55	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
57	31, 56	raleqbidv 2709	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) /\ n = .0. ) -> ( A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
58	30, 57	sbcied 3026	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) /\ t = .x. ) -> ( [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
59	23, 58	sbcied 3026	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. _V /\ b = B ) /\ p = .+ ) -> ( [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
60	18, 59	sbcied 3026	. . . . . 6 |- ( ( R e. _V /\ b = B ) -> ( [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
61	13, 60	sbcied 3026	. . . . 5 |- ( R e. _V -> ( [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )
62	7, 61	anbi12d 473	. . . 4 |- ( R e. _V -> ( ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
63	62	anbi2d 464	. . 3 |- ( R e. _V -> ( ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) ) )
64		fveq2 5561	. . . . . 6 |- ( r = R -> (mulGrp ` r ) = (mulGrp ` R ) )
65	64	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( r = R -> ( (mulGrp ` r ) e. Mnd <-> (mulGrp ` R ) e. Mnd ) )
66		fveq2 5561	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = ( Base ` R ) )
67	66, 8	eqtr4di 2247	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( Base ` r ) = B )
68		fveq2 5561	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = ( +g ` R ) )
69	68, 14	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( +g ` r ) = .+ )
70		fveq2 5561	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = ( .r ` R ) )
71	70, 19	eqtr4di 2247	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( .r ` r ) = .x. )
72		fveq2 5561	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = ( 0g ` R ) )
73	72, 24	eqtr4di 2247	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( 0g ` r ) = .0. )
74	73	sbceq1d 2994	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
75	71, 74	sbceqbid 2996	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
76	69, 75	sbceqbid 2996	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
77	67, 76	sbceqbid 2996	. . . . 5 |- ( r = R -> ( [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) <-> [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) )
78	65, 77	anbi12d 473	. . . 4 |- ( r = R -> ( ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) <-> ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
79		df-srg 13596	. . . 4 |- SRing = { r e. CMnd | ( (mulGrp ` r ) e. Mnd /\ [. ( Base ` r ) / b ]. [. ( +g ` r ) / p ]. [. ( .r ` r ) / t ]. [. ( 0g ` r ) / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) }
80	78, 79	elrab2 2923	. . 3 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ ( (mulGrp ` R ) e. Mnd /\ [. B / b ]. [. .+ / p ]. [. .x. / t ]. [. .0. / n ]. A. x e. b ( A. y e. b A. z e. b ( ( x t ( y p z ) ) = ( ( x t y ) p ( x t z ) ) /\ ( ( x p y ) t z ) = ( ( x t z ) p ( y t z ) ) ) /\ ( ( n t x ) = n /\ ( x t n ) = n ) ) ) ) )
81		3anass 984	. . 3 |- ( ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) <-> ( R e. CMnd /\ ( G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
82	63, 80, 81	3bitr4g 223	. 2 |- ( R e. _V -> ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) ) )
83	1, 3, 82	pm5.21nii 705	1 |- ( R e. SRing <-> ( R e. CMnd /\ G e. Mnd /\ A. x e. B ( A. y e. B A. z e. B ( ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) /\ ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) /\ ( ( .0. .x. x ) = .0. /\ ( x .x. .0. ) = .0. ) ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [.wsbc 2989   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781   0gc0g 12958   Mndcmnd 13118  CMndccmn 13490  mulGrpcmgp 13552  SRingcsrg 13595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-srg 13596

This theorem is referenced by:  srgcmn  13598  srgmgp  13600  srgdilem  13601  srgrz  13616  srglz  13617  ringsrg  13679