ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  df-plq0 GIF version

Definition df-plq0 7425
Description: Define addition on nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
df-plq0 +Q0 = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘“

Detailed syntax breakdown of Definition df-plq0
StepHypRef Expression
1 cplq0 7287 . 2 class +Q0
2 vx . . . . . . 7 setvar ๐‘ฅ
32cv 1352 . . . . . 6 class ๐‘ฅ
4 cnq0 7285 . . . . . 6 class Q0
53, 4wcel 2148 . . . . 5 wff ๐‘ฅ โˆˆ Q0
6 vy . . . . . . 7 setvar ๐‘ฆ
76cv 1352 . . . . . 6 class ๐‘ฆ
87, 4wcel 2148 . . . . 5 wff ๐‘ฆ โˆˆ Q0
95, 8wa 104 . . . 4 wff (๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0)
10 vw . . . . . . . . . . . . . 14 setvar ๐‘ค
1110cv 1352 . . . . . . . . . . . . 13 class ๐‘ค
12 vv . . . . . . . . . . . . . 14 setvar ๐‘ฃ
1312cv 1352 . . . . . . . . . . . . 13 class ๐‘ฃ
1411, 13cop 3595 . . . . . . . . . . . 12 class โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ
15 ceq0 7284 . . . . . . . . . . . 12 class ~Q0
1614, 15cec 6532 . . . . . . . . . . 11 class [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0
173, 16wceq 1353 . . . . . . . . . 10 wff ๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0
18 vu . . . . . . . . . . . . . 14 setvar ๐‘ข
1918cv 1352 . . . . . . . . . . . . 13 class ๐‘ข
20 vf . . . . . . . . . . . . . 14 setvar ๐‘“
2120cv 1352 . . . . . . . . . . . . 13 class ๐‘“
2219, 21cop 3595 . . . . . . . . . . . 12 class โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ
2322, 15cec 6532 . . . . . . . . . . 11 class [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0
247, 23wceq 1353 . . . . . . . . . 10 wff ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0
2517, 24wa 104 . . . . . . . . 9 wff (๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 )
26 vz . . . . . . . . . . 11 setvar ๐‘ง
2726cv 1352 . . . . . . . . . 10 class ๐‘ง
28 comu 6414 . . . . . . . . . . . . . 14 class ยทo
2911, 21, 28co 5874 . . . . . . . . . . . . 13 class (๐‘ค ยทo ๐‘“)
3013, 19, 28co 5874 . . . . . . . . . . . . 13 class (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)
31 coa 6413 . . . . . . . . . . . . 13 class +o
3229, 30, 31co 5874 . . . . . . . . . . . 12 class ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข))
3313, 21, 28co 5874 . . . . . . . . . . . 12 class (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)
3432, 33cop 3595 . . . . . . . . . . 11 class โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ
3534, 15cec 6532 . . . . . . . . . 10 class [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0
3627, 35wceq 1353 . . . . . . . . 9 wff ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0
3725, 36wa 104 . . . . . . . 8 wff ((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 )
3837, 20wex 1492 . . . . . . 7 wff โˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 )
3938, 18wex 1492 . . . . . 6 wff โˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 )
4039, 12wex 1492 . . . . 5 wff โˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 )
4140, 10wex 1492 . . . 4 wff โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 )
429, 41wa 104 . . 3 wff ((๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))
4342, 2, 6, 26coprab 5875 . 2 class {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
441, 43wceq 1353 1 wff +Q0 = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
Colors of variables: wff set class
This definition is referenced by:  dfplq0qs  7428
  Copyright terms: Public domain W3C validator