HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 75 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 7401-7500   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremltanqi 7401 Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 7399. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต))
 
Theoremltmnqi 7402 Ordering property of multiplication for positive fractions. One direction of ltmnqg 7400. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต))
 
Theoremlt2addnq 7403 Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.)
(((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง (๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ท โˆˆ Q)) โ†’ ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ <Q ๐ท) โ†’ (๐ด +Q ๐ถ) <Q (๐ต +Q ๐ท)))
 
Theoremlt2mulnq 7404 Ordering property of multiplication for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.)
(((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง (๐ถ โˆˆ Q โˆง ๐ท โˆˆ Q)) โ†’ ((๐ด <Q ๐ต โˆง ๐ถ <Q ๐ท) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ถ) <Q (๐ต ยทQ ๐ท)))
 
Theorem1lt2nq 7405 One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
1Q <Q (1Q +Q 1Q)
 
Theoremltaddnq 7406 The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ด <Q (๐ด +Q ๐ต))
 
Theoremltexnqq 7407* Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต))
 
Theoremltexnqi 7408* Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2020.)
(๐ด <Q ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต)
 
Theoremhalfnqq 7409* One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
(๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
 
Theoremhalfnq 7410* One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
(๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) = ๐ด)
 
Theoremnsmallnqq 7411* There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
(๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ <Q ๐ด)
 
Theoremnsmallnq 7412* There is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
(๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ <Q ๐ด)
 
Theoremsubhalfnqq 7413* There is a number which is less than half of any positive fraction. The case where ๐ด is one is Lemma 11.4 of [BauerTaylor], p. 50, and they use the word "approximate half" for such a number (since there may be constructions, for some structures other than the rationals themselves, which rely on such an approximate half but do not require division by two as seen at halfnqq 7409). (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
(๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐‘ฅ +Q ๐‘ฅ) <Q ๐ด)
 
Theoremltbtwnnqq 7414* There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
(๐ด <Q ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <Q ๐ต))
 
Theoremltbtwnnq 7415* There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
(๐ด <Q ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ(๐ด <Q ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ <Q ๐ต))
 
Theoremarchnqq 7416* For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
(๐ด โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q [โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ] ~Q )
 
Theoremprarloclemarch 7417* A version of the Archimedean property. This variation is "stronger" than archnqq 7416 in the sense that we provide an integer which is larger than a given rational ๐ด even after being multiplied by a second rational ๐ต. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N ๐ด <Q ([โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ต))
 
Theoremprarloclemarch2 7418* Like prarloclemarch 7417 but the integer must be at least two, and there is also ๐ต added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ N (1o <N ๐‘ฅ โˆง ๐ด <Q (๐ต +Q ([โŸจ๐‘ฅ, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐ถ))))
 
Theoremltrnqg 7419 Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7420. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” (*Qโ€˜๐ต) <Q (*Qโ€˜๐ด)))
 
Theoremltrnqi 7420 Ordering property of reciprocal for positive fractions. For the converse, see ltrnqg 7419. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.)
(๐ด <Q ๐ต โ†’ (*Qโ€˜๐ต) <Q (*Qโ€˜๐ด))
 
Theoremnnnq 7421 The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
(๐ด โˆˆ N โ†’ [โŸจ๐ด, 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
 
Theoremltnnnq 7422 Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด <N ๐ต โ†” [โŸจ๐ด, 1oโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐ต, 1oโŸฉ] ~Q ))
 
Definitiondf-enq0 7423* Define equivalence relation for nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.)
~Q0 = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (ฯ‰ ร— N)) โˆง โˆƒ๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ข((๐‘ฅ = โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ โˆง ๐‘ฆ = โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ) โˆง (๐‘ง ยทo ๐‘ข) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฃ)))}
 
Definitiondf-nq0 7424 Define class of nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.)
Q0 = ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )
 
Definitiondf-0nq0 7425 Define nonnegative fraction constant 0. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
0Q0 = [โŸจโˆ…, 1oโŸฉ] ~Q0
 
Definitiondf-plq0 7426* Define addition on nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.)
+Q0 = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
 
Definitiondf-mq0 7427* Define multiplication on nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.)
ยทQ0 = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ Q0 โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q0) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ(๐‘ค ยทo ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
 
Theoremdfmq0qs 7428* Multiplication on nonnegative fractions. This definition is similar to df-mq0 7427 but expands Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)
ยทQ0 = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ(๐‘ค ยทo ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
 
Theoremdfplq0qs 7429* Addition on nonnegative fractions. This definition is similar to df-plq0 7426 but expands Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
+Q0 = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )) โˆง โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘“((๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐‘ฆ = [โŸจ๐‘ข, ๐‘“โŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘“) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘“)โŸฉ] ~Q0 ))}
 
Theoremenq0enq 7430 Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
~Q = ( ~Q0 โˆฉ ((N ร— N) ร— (N ร— N)))
 
Theoremenq0sym 7431 The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
(๐‘“ ~Q0 ๐‘” โ†’ ๐‘” ~Q0 ๐‘“)
 
Theoremenq0ref 7432 The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
(๐‘“ โˆˆ (ฯ‰ ร— N) โ†” ๐‘“ ~Q0 ๐‘“)
 
Theoremenq0tr 7433 The equivalence relation for nonnegative fractions is transitive. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
((๐‘“ ~Q0 ๐‘” โˆง ๐‘” ~Q0 โ„Ž) โ†’ ๐‘“ ~Q0 โ„Ž)
 
Theoremenq0er 7434 The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
~Q0 Er (ฯ‰ ร— N)
 
Theoremenq0breq 7435 Equivalence relation for nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
(((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ ~Q0 โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ โ†” (๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ)))
 
Theoremenq0eceq 7436 Equivalence class equality of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
(((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q0 โ†” (๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ)))
 
Theoremnqnq0pi 7437 A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q )
 
Theoremenq0ex 7438 The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
~Q0 โˆˆ V
 
Theoremnq0ex 7439 The class of positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Q0 โˆˆ V
 
Theoremnqnq0 7440 A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.)
Q โŠ† Q0
 
Theoremnq0nn 7441* Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)
(๐ด โˆˆ Q0 โ†’ โˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃ((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 ))
 
Theoremaddcmpblnq0 7442 Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
((((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ) โˆง (๐น ยทo ๐‘†) = (๐บ ยทo ๐‘…)) โ†’ โŸจ((๐ด ยทo ๐บ) +o (๐ต ยทo ๐น)), (๐ต ยทo ๐บ)โŸฉ ~Q0 โŸจ((๐ถ ยทo ๐‘†) +o (๐ท ยทo ๐‘…)), (๐ท ยทo ๐‘†)โŸฉ))
 
Theoremmulcmpblnq0 7443 Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
((((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ N)) โˆง ((๐น โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐บ โˆˆ N) โˆง (๐‘… โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘† โˆˆ N))) โ†’ (((๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ) โˆง (๐น ยทo ๐‘†) = (๐บ ยทo ๐‘…)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทo ๐น), (๐ต ยทo ๐บ)โŸฉ ~Q0 โŸจ(๐ถ ยทo ๐‘…), (๐ท ยทo ๐‘†)โŸฉ))
 
Theoremmulcanenq0ec 7444 Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ] ~Q0 )
 
Theoremnnnq0lem1 7445* Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7448 and mulnnnq0 7449. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
(((๐ด โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โˆง ๐ต โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )) โˆง (((๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [๐ถ] ~Q0 ) โˆง ((๐ด = [โŸจ๐‘ , ๐‘“โŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘”, โ„ŽโŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ž = [๐ท] ~Q0 ))) โ†’ ((((๐‘ค โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง (๐‘  โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘“ โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ข โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ก โˆˆ N) โˆง (๐‘” โˆˆ ฯ‰ โˆง โ„Ž โˆˆ N))) โˆง ((๐‘ค ยทo ๐‘“) = (๐‘ฃ ยทo ๐‘ ) โˆง (๐‘ข ยทo โ„Ž) = (๐‘ก ยทo ๐‘”))))
 
Theoremaddnq0mo 7446* There is at most one result from adding nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โˆง ๐ต โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )) โ†’ โˆƒ*๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘ก((๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ((๐‘ค ยทo ๐‘ก) +o (๐‘ฃ ยทo ๐‘ข)), (๐‘ฃ ยทo ๐‘ก)โŸฉ] ~Q0 ))
 
Theoremmulnq0mo 7447* There is at most one result from multiplying nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 ) โˆง ๐ต โˆˆ ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )) โ†’ โˆƒ*๐‘งโˆƒ๐‘คโˆƒ๐‘ฃโˆƒ๐‘ขโˆƒ๐‘ก((๐ด = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q0 โˆง ๐ต = [โŸจ๐‘ข, ๐‘กโŸฉ] ~Q0 ) โˆง ๐‘ง = [โŸจ(๐‘ค ยทo ๐‘ข), (๐‘ฃ ยทo ๐‘ก)โŸฉ] ~Q0 ))
 
Theoremaddnnnq0 7448 Addition of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.)
(((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ((๐ด ยทo ๐ท) +o (๐ต ยทo ๐ถ)), (๐ต ยทo ๐ท)โŸฉ] ~Q0 )
 
Theoremmulnnnq0 7449 Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.)
(((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ถ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ท โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐ด, ๐ตโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐ถ, ๐ทโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐ด ยทo ๐ถ), (๐ต ยทo ๐ท)โŸฉ] ~Q0 )
 
Theoremaddclnq0 7450 Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ Q0)
 
Theoremmulclnq0 7451 Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โˆˆ Q0)
 
Theoremnqpnq0nq 7452 A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด +Q0 ๐ต) โˆˆ Q)
 
Theoremnqnq0a 7453 Addition of positive fractions is equal with +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = (๐ด +Q0 ๐ต))
 
Theoremnqnq0m 7454 Multiplication of positive fractions is equal with ยทQ or ยทQ0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
 
Theoremnq0m0r 7455 Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
(๐ด โˆˆ Q0 โ†’ (0Q0 ยทQ0 ๐ด) = 0Q0)
 
Theoremnq0a0 7456 Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
(๐ด โˆˆ Q0 โ†’ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด)
 
Theoremnnanq0 7457 Addition of nonnegative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.)
((๐‘ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘€ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ +o ๐‘€), ๐ดโŸฉ] ~Q0 = ([โŸจ๐‘, ๐ดโŸฉ] ~Q0 +Q0 [โŸจ๐‘€, ๐ดโŸฉ] ~Q0 ))
 
Theoremdistrnq0 7458 Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0 โˆง ๐ถ โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 (๐ต +Q0 ๐ถ)) = ((๐ด ยทQ0 ๐ต) +Q0 (๐ด ยทQ0 ๐ถ)))
 
Theoremmulcomnq0 7459 Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = (๐ต ยทQ0 ๐ด))
 
Theoremaddassnq0lemcl 7460 A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7461. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.)
(((๐ผ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ฝ โˆˆ N) โˆง (๐พ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ฟ โˆˆ N)) โ†’ (((๐ผ ยทo ๐ฟ) +o (๐ฝ ยทo ๐พ)) โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐ฝ ยทo ๐ฟ) โˆˆ N))
 
Theoremaddassnq0 7461 Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0 โˆง ๐ถ โˆˆ Q0) โ†’ ((๐ด +Q0 ๐ต) +Q0 ๐ถ) = (๐ด +Q0 (๐ต +Q0 ๐ถ)))
 
Theoremdistnq0r 7462 Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7458 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0 โˆง ๐ถ โˆˆ Q0) โ†’ ((๐ต +Q0 ๐ถ) ยทQ0 ๐ด) = ((๐ต ยทQ0 ๐ด) +Q0 (๐ถ ยทQ0 ๐ด)))
 
Theoremaddpinq1 7463 Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
(๐ด โˆˆ N โ†’ [โŸจ(๐ด +N 1o), 1oโŸฉ] ~Q = ([โŸจ๐ด, 1oโŸฉ] ~Q +Q 1Q))
 
Theoremnq02m 7464 Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
(๐ด โˆˆ Q0 โ†’ ([โŸจ2o, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด))
 
Definitiondf-inp 7465* Define the set of positive reals. A "Dedekind cut" is a partition of the positive rational numbers into two classes such that all the numbers of one class are less than all the numbers of the other.

Here we follow the definition of a Dedekind cut from Definition 11.2.1 of [HoTT], p. (varies) with the one exception that we define it over positive rational numbers rather than all rational numbers.

A Dedekind cut is an ordered pair of a lower set ๐‘™ and an upper set ๐‘ข which is inhabited (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ข), rounded (โˆ€๐‘ž โˆˆ Q(๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q(๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘™)) and likewise for ๐‘ข), disjoint (โˆ€๐‘ž โˆˆ Qยฌ (๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ข)) and located (โˆ€๐‘ž โˆˆ Qโˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q(๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ข))). See HoTT for more discussion of those terms and different ways of defining Dedekind cuts.

(Note: This is a "temporary" definition used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction.) (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2019.)

P = {โŸจ๐‘™, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ (((๐‘™ โŠ† Q โˆง ๐‘ข โŠ† Q) โˆง (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q ๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ข)) โˆง ((โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘™)) โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ข โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ข))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q ยฌ (๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ข) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ ๐‘™ โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ข))))}
 
Definitiondf-i1p 7466* Define the positive real constant 1. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2019.)
1P = โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q 1Q}, {๐‘ข โˆฃ 1Q <Q ๐‘ข}โŸฉ
 
Definitiondf-iplp 7467* Define addition on positive reals. From Section 11.2.1 of [HoTT], p. (varies). We write this definition to closely resemble the definition in HoTT although some of the conditions are redundant (for example, ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฅ) implies ๐‘Ÿ โˆˆ Q) and can be simplified as shown at genpdf 7507.

This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2019.)

+P = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ž โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆƒ๐‘  โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘  โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ž = (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ))}, {๐‘ž โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆƒ๐‘  โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘  โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ž = (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ))}โŸฉ)
 
Definitiondf-imp 7468* Define multiplication on positive reals. Here we use a simple definition which is similar to df-iplp 7467 or the definition of multiplication on positive reals in Metamath Proof Explorer. This is as opposed to the more complicated definition of multiplication given in Section 11.2.1 of [HoTT], p. (varies), which appears to be motivated by handling negative numbers or handling modified Dedekind cuts in which locatedness is omitted.

This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

ยทP = (๐‘ฅ โˆˆ P, ๐‘ฆ โˆˆ P โ†ฆ โŸจ{๐‘ž โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆƒ๐‘  โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘  โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ž = (๐‘Ÿ ยทQ ๐‘ ))}, {๐‘ž โˆˆ Q โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆƒ๐‘  โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘  โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฆ) โˆง ๐‘ž = (๐‘Ÿ ยทQ ๐‘ ))}โŸฉ)
 
Definitiondf-iltp 7469* Define ordering on positive reals. We define ๐‘ฅ<P ๐‘ฆ if there is a positive fraction ๐‘ž which is an element of the upper cut of ๐‘ฅ and the lower cut of ๐‘ฆ. From the definition of < in Section 11.2.1 of [HoTT], p. (varies).

This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)

<P = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ P) โˆง โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜๐‘ฅ) โˆง ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐‘ฆ)))}
 
Theoremnpsspw 7470 Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
P โŠ† (๐’ซ Q ร— ๐’ซ Q)
 
Theorempreqlu 7471 Two reals are equal if and only if their lower and upper cuts are. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.)
((๐ด โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ P) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” ((1st โ€˜๐ด) = (1st โ€˜๐ต) โˆง (2nd โ€˜๐ด) = (2nd โ€˜๐ต))))
 
Theoremnpex 7472 The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)
P โˆˆ V
 
Theoremelinp 7473* Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†” (((๐ฟ โŠ† Q โˆง ๐‘ˆ โŠ† Q) โˆง (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q ๐‘ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ˆ)) โˆง ((โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ ๐ฟ โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ ๐ฟ)) โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ˆ))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q ยฌ (๐‘ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ ๐ฟ โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ ๐‘ˆ)))))
 
Theoremprop 7474 A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
(๐ด โˆˆ P โ†’ โŸจ(1st โ€˜๐ด), (2nd โ€˜๐ด)โŸฉ โˆˆ P)
 
Theoremelnp1st2nd 7475* Membership in positive reals, using 1st and 2nd to refer to the lower and upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2019.)
(๐ด โˆˆ P โ†” ((๐ด โˆˆ (๐’ซ Q ร— ๐’ซ Q) โˆง (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q ๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))) โˆง ((โˆ€๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (1st โ€˜๐ด))) โˆง โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)))) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q ยฌ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ (2nd โ€˜๐ด)) โˆง โˆ€๐‘ž โˆˆ Q โˆ€๐‘Ÿ โˆˆ Q (๐‘ž <Q ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ž โˆˆ (1st โ€˜๐ด) โˆจ ๐‘Ÿ โˆˆ (2nd โ€˜๐ด))))))
 
Theoremprml 7476* A positive real's lower cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ)
 
Theoremprmu 7477* A positive real's upper cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ˆ)
 
Theoremprssnql 7478 The lower cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ ๐ฟ โŠ† Q)
 
Theoremprssnqu 7479 The upper cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
(โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ ๐‘ˆ โŠ† Q)
 
Theoremelprnql 7480 An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐ฟ) โ†’ ๐ต โˆˆ Q)
 
Theoremelprnqu 7481 An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ต โˆˆ Q)
 
Theorem0npr 7482 The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
ยฌ โˆ… โˆˆ P
 
Theoremprcdnql 7483 A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐ฟ) โ†’ (๐ถ <Q ๐ต โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ฟ))
 
Theoremprcunqu 7484 An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐ถ <Q ๐ต โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ))
 
Theoremprubl 7485 A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
(((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐ถ โˆˆ Q) โ†’ (ยฌ ๐ถ โˆˆ ๐ฟ โ†’ ๐ต <Q ๐ถ))
 
Theoremprltlu 7486 An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐ถ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ ๐ต <Q ๐ถ)
 
Theoremprnmaxl 7487* A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ ๐ต <Q ๐‘ฅ)
 
Theoremprnminu 7488* An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ <Q ๐ต)
 
Theoremprnmaddl 7489* A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ต โˆˆ ๐ฟ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ต +Q ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ฟ)
 
Theoremprloc 7490 A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด <Q ๐ต) โ†’ (๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆจ ๐ต โˆˆ ๐‘ˆ))
 
Theoremprdisj 7491 A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ ยฌ (๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘ˆ))
 
Theoremprarloclemlt 7492 Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
(((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) <Q (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)))
 
Theoremprarloclemlo 7493* Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
(((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ(๐‘ฆ +o 1o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
 
Theoremprarloclemup 7494 Contracting the upper side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
(((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ (((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
 
Theoremprarloclem3step 7495* Induction step for prarloclem3 7496. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2019.)
(((๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q)) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o suc ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
 
Theoremprarloclem3 7496* Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.)
(((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘‹), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘—, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘— +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
 
Theoremprarloclem4 7497* A slight rearrangement of prarloclem3 7496. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
(((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘—, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘— +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
 
Theoremprarloclemn 7498* Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
((๐‘ โˆˆ N โˆง 1o <N ๐‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ (2o +o ๐‘ฅ) = ๐‘)
 
Theoremprarloclem5 7499* A substitution of zero for ๐‘ฆ and ๐‘ minus two for ๐‘ฅ. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
(((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘ฆ, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ((๐‘ฆ +o 2o) +o ๐‘ฅ), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
 
Theoremprarloclem 7500* A special case of Lemma 6.16 from [BauerTaylor], p. 32. Given evenly spaced rational numbers from ๐ด to ๐ด +Q (๐‘ ยทQ ๐‘ƒ) (which are in the lower and upper cuts, respectively, of a real number), there are a pair of numbers, two positions apart in the even spacing, which straddle the cut. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)
(((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐ด โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘) โˆง (๐ด +Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ ฯ‰ ((๐ด +Q0 ([โŸจ๐‘—, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐ด +Q ([โŸจ(๐‘— +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ƒ)) โˆˆ ๐‘ˆ))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14834
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >