![]() |
Intuitionistic Logic Explorer Theorem List (p. 75 of 149) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > ILE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | ltanqi 7401 | Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 7399. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.) |
โข ((๐ด <Q ๐ต โง ๐ถ โ Q) โ (๐ถ +Q ๐ด) <Q (๐ถ +Q ๐ต)) | ||
Theorem | ltmnqi 7402 | Ordering property of multiplication for positive fractions. One direction of ltmnqg 7400. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.) |
โข ((๐ด <Q ๐ต โง ๐ถ โ Q) โ (๐ถ ยทQ ๐ด) <Q (๐ถ ยทQ ๐ต)) | ||
Theorem | lt2addnq 7403 | Ordering property of addition for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2019.) |
โข (((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โง (๐ถ โ Q โง ๐ท โ Q)) โ ((๐ด <Q ๐ต โง ๐ถ <Q ๐ท) โ (๐ด +Q ๐ถ) <Q (๐ต +Q ๐ท))) | ||
Theorem | lt2mulnq 7404 | Ordering property of multiplication for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โง (๐ถ โ Q โง ๐ท โ Q)) โ ((๐ด <Q ๐ต โง ๐ถ <Q ๐ท) โ (๐ด ยทQ ๐ถ) <Q (๐ต ยทQ ๐ท))) | ||
Theorem | 1lt2nq 7405 | One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) |
โข 1Q <Q (1Q +Q 1Q) | ||
Theorem | ltaddnq 7406 | The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ ๐ด <Q (๐ด +Q ๐ต)) | ||
Theorem | ltexnqq 7407* | Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <Q ๐ต โ โ๐ฅ โ Q (๐ด +Q ๐ฅ) = ๐ต)) | ||
Theorem | ltexnqi 7408* | Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Apr-2020.) |
โข (๐ด <Q ๐ต โ โ๐ฅ โ Q (๐ด +Q ๐ฅ) = ๐ต) | ||
Theorem | halfnqq 7409* | One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.) |
โข (๐ด โ Q โ โ๐ฅ โ Q (๐ฅ +Q ๐ฅ) = ๐ด) | ||
Theorem | halfnq 7410* | One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 16-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) |
โข (๐ด โ Q โ โ๐ฅ(๐ฅ +Q ๐ฅ) = ๐ด) | ||
Theorem | nsmallnqq 7411* | There is no smallest positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.) |
โข (๐ด โ Q โ โ๐ฅ โ Q ๐ฅ <Q ๐ด) | ||
Theorem | nsmallnq 7412* | There is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) |
โข (๐ด โ Q โ โ๐ฅ ๐ฅ <Q ๐ด) | ||
Theorem | subhalfnqq 7413* | There is a number which is less than half of any positive fraction. The case where ๐ด is one is Lemma 11.4 of [BauerTaylor], p. 50, and they use the word "approximate half" for such a number (since there may be constructions, for some structures other than the rationals themselves, which rely on such an approximate half but do not require division by two as seen at halfnqq 7409). (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.) |
โข (๐ด โ Q โ โ๐ฅ โ Q (๐ฅ +Q ๐ฅ) <Q ๐ด) | ||
Theorem | ltbtwnnqq 7414* | There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.) |
โข (๐ด <Q ๐ต โ โ๐ฅ โ Q (๐ด <Q ๐ฅ โง ๐ฅ <Q ๐ต)) | ||
Theorem | ltbtwnnq 7415* | There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) |
โข (๐ด <Q ๐ต โ โ๐ฅ(๐ด <Q ๐ฅ โง ๐ฅ <Q ๐ต)) | ||
Theorem | archnqq 7416* | For any fraction, there is an integer that is greater than it. This is also known as the "archimedean property". (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.) |
โข (๐ด โ Q โ โ๐ฅ โ N ๐ด <Q [โจ๐ฅ, 1oโฉ] ~Q ) | ||
Theorem | prarloclemarch 7417* | A version of the Archimedean property. This variation is "stronger" than archnqq 7416 in the sense that we provide an integer which is larger than a given rational ๐ด even after being multiplied by a second rational ๐ต. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ โ๐ฅ โ N ๐ด <Q ([โจ๐ฅ, 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐ต)) | ||
Theorem | prarloclemarch2 7418* | Like prarloclemarch 7417 but the integer must be at least two, and there is also ๐ต added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q โง ๐ถ โ Q) โ โ๐ฅ โ N (1o <N ๐ฅ โง ๐ด <Q (๐ต +Q ([โจ๐ฅ, 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐ถ)))) | ||
Theorem | ltrnqg 7419 | Ordering property of reciprocal for positive fractions. For a simplified version of the forward implication, see ltrnqi 7420. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด <Q ๐ต โ (*Qโ๐ต) <Q (*Qโ๐ด))) | ||
Theorem | ltrnqi 7420 | Ordering property of reciprocal for positive fractions. For the converse, see ltrnqg 7419. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2019.) |
โข (๐ด <Q ๐ต โ (*Qโ๐ต) <Q (*Qโ๐ด)) | ||
Theorem | nnnq 7421 | The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.) |
โข (๐ด โ N โ [โจ๐ด, 1oโฉ] ~Q โ Q) | ||
Theorem | ltnnnq 7422 | Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.) |
โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ (๐ด <N ๐ต โ [โจ๐ด, 1oโฉ] ~Q <Q [โจ๐ต, 1oโฉ] ~Q )) | ||
Definition | df-enq0 7423* | Define equivalence relation for nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.) |
โข ~Q0 = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ (ฯ ร N) โง ๐ฆ โ (ฯ ร N)) โง โ๐งโ๐คโ๐ฃโ๐ข((๐ฅ = โจ๐ง, ๐คโฉ โง ๐ฆ = โจ๐ฃ, ๐ขโฉ) โง (๐ง ยทo ๐ข) = (๐ค ยทo ๐ฃ)))} | ||
Definition | df-nq0 7424 | Define class of nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.) |
โข Q0 = ((ฯ ร N) / ~Q0 ) | ||
Definition | df-0nq0 7425 | Define nonnegative fraction constant 0. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.) |
โข 0Q0 = [โจโ , 1oโฉ] ~Q0 | ||
Definition | df-plq0 7426* | Define addition on nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.) |
โข +Q0 = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ Q0 โง ๐ฆ โ Q0) โง โ๐คโ๐ฃโ๐ขโ๐((๐ฅ = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ฆ = [โจ๐ข, ๐โฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [โจ((๐ค ยทo ๐) +o (๐ฃ ยทo ๐ข)), (๐ฃ ยทo ๐)โฉ] ~Q0 ))} | ||
Definition | df-mq0 7427* | Define multiplication on nonnegative fractions. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Nov-2019.) |
โข ยทQ0 = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ Q0 โง ๐ฆ โ Q0) โง โ๐คโ๐ฃโ๐ขโ๐((๐ฅ = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ฆ = [โจ๐ข, ๐โฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [โจ(๐ค ยทo ๐ข), (๐ฃ ยทo ๐)โฉ] ~Q0 ))} | ||
Theorem | dfmq0qs 7428* | Multiplication on nonnegative fractions. This definition is similar to df-mq0 7427 but expands Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.) |
โข ยทQ0 = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ ((ฯ ร N) / ~Q0 ) โง ๐ฆ โ ((ฯ ร N) / ~Q0 )) โง โ๐คโ๐ฃโ๐ขโ๐((๐ฅ = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ฆ = [โจ๐ข, ๐โฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [โจ(๐ค ยทo ๐ข), (๐ฃ ยทo ๐)โฉ] ~Q0 ))} | ||
Theorem | dfplq0qs 7429* | Addition on nonnegative fractions. This definition is similar to df-plq0 7426 but expands Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.) |
โข +Q0 = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ ((ฯ ร N) / ~Q0 ) โง ๐ฆ โ ((ฯ ร N) / ~Q0 )) โง โ๐คโ๐ฃโ๐ขโ๐((๐ฅ = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ฆ = [โจ๐ข, ๐โฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [โจ((๐ค ยทo ๐) +o (๐ฃ ยทo ๐ข)), (๐ฃ ยทo ๐)โฉ] ~Q0 ))} | ||
Theorem | enq0enq 7430 | Equivalence on positive fractions in terms of equivalence on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.) |
โข ~Q = ( ~Q0 โฉ ((N ร N) ร (N ร N))) | ||
Theorem | enq0sym 7431 | The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.) |
โข (๐ ~Q0 ๐ โ ๐ ~Q0 ๐) | ||
Theorem | enq0ref 7432 | The equivalence relation for nonnegative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.) |
โข (๐ โ (ฯ ร N) โ ๐ ~Q0 ๐) | ||
Theorem | enq0tr 7433 | The equivalence relation for nonnegative fractions is transitive. Lemma for enq0er 7434. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.) |
โข ((๐ ~Q0 ๐ โง ๐ ~Q0 โ) โ ๐ ~Q0 โ) | ||
Theorem | enq0er 7434 | The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.) |
โข ~Q0 Er (ฯ ร N) | ||
Theorem | enq0breq 7435 | Equivalence relation for nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) |
โข (((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ N) โง (๐ถ โ ฯ โง ๐ท โ N)) โ (โจ๐ด, ๐ตโฉ ~Q0 โจ๐ถ, ๐ทโฉ โ (๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ))) | ||
Theorem | enq0eceq 7436 | Equivalence class equality of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.) |
โข (((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ N) โง (๐ถ โ ฯ โง ๐ท โ N)) โ ([โจ๐ด, ๐ตโฉ] ~Q0 = [โจ๐ถ, ๐ทโฉ] ~Q0 โ (๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ))) | ||
Theorem | nqnq0pi 7437 | A nonnegative fraction is a positive fraction if its numerator and denominator are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ N) โ [โจ๐ด, ๐ตโฉ] ~Q0 = [โจ๐ด, ๐ตโฉ] ~Q ) | ||
Theorem | enq0ex 7438 | The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.) |
โข ~Q0 โ V | ||
Theorem | nq0ex 7439 | The class of positive fractions exists. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.) |
โข Q0 โ V | ||
Theorem | nqnq0 7440 | A positive fraction is a nonnegative fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Nov-2019.) |
โข Q โ Q0 | ||
Theorem | nq0nn 7441* | Decomposition of a nonnegative fraction into numerator and denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.) |
โข (๐ด โ Q0 โ โ๐คโ๐ฃ((๐ค โ ฯ โง ๐ฃ โ N) โง ๐ด = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 )) | ||
Theorem | addcmpblnq0 7442 | Lemma showing compatibility of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.) |
โข ((((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ N) โง (๐ถ โ ฯ โง ๐ท โ N)) โง ((๐น โ ฯ โง ๐บ โ N) โง (๐ โ ฯ โง ๐ โ N))) โ (((๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ) โง (๐น ยทo ๐) = (๐บ ยทo ๐ )) โ โจ((๐ด ยทo ๐บ) +o (๐ต ยทo ๐น)), (๐ต ยทo ๐บ)โฉ ~Q0 โจ((๐ถ ยทo ๐) +o (๐ท ยทo ๐ )), (๐ท ยทo ๐)โฉ)) | ||
Theorem | mulcmpblnq0 7443 | Lemma showing compatibility of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.) |
โข ((((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ N) โง (๐ถ โ ฯ โง ๐ท โ N)) โง ((๐น โ ฯ โง ๐บ โ N) โง (๐ โ ฯ โง ๐ โ N))) โ (((๐ด ยทo ๐ท) = (๐ต ยทo ๐ถ) โง (๐น ยทo ๐) = (๐บ ยทo ๐ )) โ โจ(๐ด ยทo ๐น), (๐ต ยทo ๐บ)โฉ ~Q0 โจ(๐ถ ยทo ๐ ), (๐ท ยทo ๐)โฉ)) | ||
Theorem | mulcanenq0ec 7444 | Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ N โง ๐ต โ ฯ โง ๐ถ โ N) โ [โจ(๐ด ยทo ๐ต), (๐ด ยทo ๐ถ)โฉ] ~Q0 = [โจ๐ต, ๐ถโฉ] ~Q0 ) | ||
Theorem | nnnq0lem1 7445* | Decomposing nonnegative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 7448 and mulnnnq0 7449. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.) |
โข (((๐ด โ ((ฯ ร N) / ~Q0 ) โง ๐ต โ ((ฯ ร N) / ~Q0 )) โง (((๐ด = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ต = [โจ๐ข, ๐กโฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [๐ถ] ~Q0 ) โง ((๐ด = [โจ๐ , ๐โฉ] ~Q0 โง ๐ต = [โจ๐, โโฉ] ~Q0 ) โง ๐ = [๐ท] ~Q0 ))) โ ((((๐ค โ ฯ โง ๐ฃ โ N) โง (๐ โ ฯ โง ๐ โ N)) โง ((๐ข โ ฯ โง ๐ก โ N) โง (๐ โ ฯ โง โ โ N))) โง ((๐ค ยทo ๐) = (๐ฃ ยทo ๐ ) โง (๐ข ยทo โ) = (๐ก ยทo ๐)))) | ||
Theorem | addnq0mo 7446* | There is at most one result from adding nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ ((ฯ ร N) / ~Q0 ) โง ๐ต โ ((ฯ ร N) / ~Q0 )) โ โ*๐งโ๐คโ๐ฃโ๐ขโ๐ก((๐ด = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ต = [โจ๐ข, ๐กโฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [โจ((๐ค ยทo ๐ก) +o (๐ฃ ยทo ๐ข)), (๐ฃ ยทo ๐ก)โฉ] ~Q0 )) | ||
Theorem | mulnq0mo 7447* | There is at most one result from multiplying nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ ((ฯ ร N) / ~Q0 ) โง ๐ต โ ((ฯ ร N) / ~Q0 )) โ โ*๐งโ๐คโ๐ฃโ๐ขโ๐ก((๐ด = [โจ๐ค, ๐ฃโฉ] ~Q0 โง ๐ต = [โจ๐ข, ๐กโฉ] ~Q0 ) โง ๐ง = [โจ(๐ค ยทo ๐ข), (๐ฃ ยทo ๐ก)โฉ] ~Q0 )) | ||
Theorem | addnnnq0 7448 | Addition of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Nov-2019.) |
โข (((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ N) โง (๐ถ โ ฯ โง ๐ท โ N)) โ ([โจ๐ด, ๐ตโฉ] ~Q0 +Q0 [โจ๐ถ, ๐ทโฉ] ~Q0 ) = [โจ((๐ด ยทo ๐ท) +o (๐ต ยทo ๐ถ)), (๐ต ยทo ๐ท)โฉ] ~Q0 ) | ||
Theorem | mulnnnq0 7449 | Multiplication of nonnegative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Nov-2019.) |
โข (((๐ด โ ฯ โง ๐ต โ N) โง (๐ถ โ ฯ โง ๐ท โ N)) โ ([โจ๐ด, ๐ตโฉ] ~Q0 ยทQ0 [โจ๐ถ, ๐ทโฉ] ~Q0 ) = [โจ(๐ด ยทo ๐ถ), (๐ต ยทo ๐ท)โฉ] ~Q0 ) | ||
Theorem | addclnq0 7450 | Closure of addition on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q0 โง ๐ต โ Q0) โ (๐ด +Q0 ๐ต) โ Q0) | ||
Theorem | mulclnq0 7451 | Closure of multiplication on nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q0 โง ๐ต โ Q0) โ (๐ด ยทQ0 ๐ต) โ Q0) | ||
Theorem | nqpnq0nq 7452 | A positive fraction plus a nonnegative fraction is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q0) โ (๐ด +Q0 ๐ต) โ Q) | ||
Theorem | nqnq0a 7453 | Addition of positive fractions is equal with +Q or +Q0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด +Q ๐ต) = (๐ด +Q0 ๐ต)) | ||
Theorem | nqnq0m 7454 | Multiplication of positive fractions is equal with ยทQ or ยทQ0. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) = (๐ด ยทQ0 ๐ต)) | ||
Theorem | nq0m0r 7455 | Multiplication with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.) |
โข (๐ด โ Q0 โ (0Q0 ยทQ0 ๐ด) = 0Q0) | ||
Theorem | nq0a0 7456 | Addition with zero for nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.) |
โข (๐ด โ Q0 โ (๐ด +Q0 0Q0) = ๐ด) | ||
Theorem | nnanq0 7457 | Addition of nonnegative fractions with a common denominator. You can add two fractions with the same denominator by adding their numerators and keeping the same denominator. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Dec-2019.) |
โข ((๐ โ ฯ โง ๐ โ ฯ โง ๐ด โ N) โ [โจ(๐ +o ๐), ๐ดโฉ] ~Q0 = ([โจ๐, ๐ดโฉ] ~Q0 +Q0 [โจ๐, ๐ดโฉ] ~Q0 )) | ||
Theorem | distrnq0 7458 | Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q0 โง ๐ต โ Q0 โง ๐ถ โ Q0) โ (๐ด ยทQ0 (๐ต +Q0 ๐ถ)) = ((๐ด ยทQ0 ๐ต) +Q0 (๐ด ยทQ0 ๐ถ))) | ||
Theorem | mulcomnq0 7459 | Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q0 โง ๐ต โ Q0) โ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = (๐ต ยทQ0 ๐ด)) | ||
Theorem | addassnq0lemcl 7460 | A natural number closure law. Lemma for addassnq0 7461. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Dec-2019.) |
โข (((๐ผ โ ฯ โง ๐ฝ โ N) โง (๐พ โ ฯ โง ๐ฟ โ N)) โ (((๐ผ ยทo ๐ฟ) +o (๐ฝ ยทo ๐พ)) โ ฯ โง (๐ฝ ยทo ๐ฟ) โ N)) | ||
Theorem | addassnq0 7461 | Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q0 โง ๐ต โ Q0 โง ๐ถ โ Q0) โ ((๐ด +Q0 ๐ต) +Q0 ๐ถ) = (๐ด +Q0 (๐ต +Q0 ๐ถ))) | ||
Theorem | distnq0r 7462 | Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7458 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.) |
โข ((๐ด โ Q0 โง ๐ต โ Q0 โง ๐ถ โ Q0) โ ((๐ต +Q0 ๐ถ) ยทQ0 ๐ด) = ((๐ต ยทQ0 ๐ด) +Q0 (๐ถ ยทQ0 ๐ด))) | ||
Theorem | addpinq1 7463 | Addition of one to the numerator of a fraction whose denominator is one. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.) |
โข (๐ด โ N โ [โจ(๐ด +N 1o), 1oโฉ] ~Q = ([โจ๐ด, 1oโฉ] ~Q +Q 1Q)) | ||
Theorem | nq02m 7464 | Multiply a nonnegative fraction by two. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.) |
โข (๐ด โ Q0 โ ([โจ2o, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ด +Q0 ๐ด)) | ||
Definition | df-inp 7465* |
Define the set of positive reals. A "Dedekind cut" is a partition of
the positive rational numbers into two classes such that all the numbers
of one class are less than all the numbers of the other.
Here we follow the definition of a Dedekind cut from Definition 11.2.1 of [HoTT], p. (varies) with the one exception that we define it over positive rational numbers rather than all rational numbers. A Dedekind cut is an ordered pair of a lower set ๐ and an upper set ๐ข which is inhabited (โ๐ โ Q๐ โ ๐ โง โ๐ โ Q๐ โ ๐ข), rounded (โ๐ โ Q(๐ โ ๐ โ โ๐ โ Q(๐ <Q ๐ โง ๐ โ ๐)) and likewise for ๐ข), disjoint (โ๐ โ Qยฌ (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ข)) and located (โ๐ โ Qโ๐ โ Q(๐ <Q ๐ โ (๐ โ ๐ โจ ๐ โ ๐ข))). See HoTT for more discussion of those terms and different ways of defining Dedekind cuts. (Note: This is a "temporary" definition used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction.) (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2019.) |
โข P = {โจ๐, ๐ขโฉ โฃ (((๐ โ Q โง ๐ข โ Q) โง (โ๐ โ Q ๐ โ ๐ โง โ๐ โ Q ๐ โ ๐ข)) โง ((โ๐ โ Q (๐ โ ๐ โ โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โง ๐ โ ๐)) โง โ๐ โ Q (๐ โ ๐ข โ โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โง ๐ โ ๐ข))) โง โ๐ โ Q ยฌ (๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ข) โง โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โ (๐ โ ๐ โจ ๐ โ ๐ข))))} | ||
Definition | df-i1p 7466* | Define the positive real constant 1. This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2019.) |
โข 1P = โจ{๐ โฃ ๐ <Q 1Q}, {๐ข โฃ 1Q <Q ๐ข}โฉ | ||
Definition | df-iplp 7467* |
Define addition on positive reals. From Section 11.2.1 of [HoTT], p.
(varies). We write this definition to closely resemble the definition
in HoTT although some of the conditions are redundant (for example,
๐
โ (1st โ๐ฅ) implies ๐ โ Q)
and can be simplified as
shown at genpdf 7507.
This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2019.) |
โข +P = (๐ฅ โ P, ๐ฆ โ P โฆ โจ{๐ โ Q โฃ โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ โ (1st โ๐ฅ) โง ๐ โ (1st โ๐ฆ) โง ๐ = (๐ +Q ๐ ))}, {๐ โ Q โฃ โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ โ (2nd โ๐ฅ) โง ๐ โ (2nd โ๐ฆ) โง ๐ = (๐ +Q ๐ ))}โฉ) | ||
Definition | df-imp 7468* |
Define multiplication on positive reals. Here we use a simple
definition which is similar to df-iplp 7467 or the definition of
multiplication on positive reals in Metamath Proof Explorer. This is as
opposed to the more complicated definition of multiplication given in
Section 11.2.1 of [HoTT], p. (varies),
which appears to be motivated by
handling negative numbers or handling modified Dedekind cuts in which
locatedness is omitted.
This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.) |
โข ยทP = (๐ฅ โ P, ๐ฆ โ P โฆ โจ{๐ โ Q โฃ โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ โ (1st โ๐ฅ) โง ๐ โ (1st โ๐ฆ) โง ๐ = (๐ ยทQ ๐ ))}, {๐ โ Q โฃ โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ โ (2nd โ๐ฅ) โง ๐ โ (2nd โ๐ฆ) โง ๐ = (๐ ยทQ ๐ ))}โฉ) | ||
Definition | df-iltp 7469* |
Define ordering on positive reals. We define ๐ฅ<P
๐ฆ if there is a
positive fraction ๐ which is an element of the upper cut
of ๐ฅ
and the lower cut of ๐ฆ. From the definition of < in
Section 11.2.1
of [HoTT], p. (varies).
This is a "temporary" set used in the construction of complex numbers, and is intended to be used only by the construction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.) |
โข <P = {โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ โฃ ((๐ฅ โ P โง ๐ฆ โ P) โง โ๐ โ Q (๐ โ (2nd โ๐ฅ) โง ๐ โ (1st โ๐ฆ)))} | ||
Theorem | npsspw 7470 | Lemma for proving existence of reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.) |
โข P โ (๐ซ Q ร ๐ซ Q) | ||
Theorem | preqlu 7471 | Two reals are equal if and only if their lower and upper cuts are. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2019.) |
โข ((๐ด โ P โง ๐ต โ P) โ (๐ด = ๐ต โ ((1st โ๐ด) = (1st โ๐ต) โง (2nd โ๐ด) = (2nd โ๐ต)))) | ||
Theorem | npex 7472 | The class of positive reals is a set. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.) |
โข P โ V | ||
Theorem | elinp 7473* | Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.) |
โข (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โ (((๐ฟ โ Q โง ๐ โ Q) โง (โ๐ โ Q ๐ โ ๐ฟ โง โ๐ โ Q ๐ โ ๐)) โง ((โ๐ โ Q (๐ โ ๐ฟ โ โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โง ๐ โ ๐ฟ)) โง โ๐ โ Q (๐ โ ๐ โ โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โง ๐ โ ๐))) โง โ๐ โ Q ยฌ (๐ โ ๐ฟ โง ๐ โ ๐) โง โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โ (๐ โ ๐ฟ โจ ๐ โ ๐))))) | ||
Theorem | prop 7474 | A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.) |
โข (๐ด โ P โ โจ(1st โ๐ด), (2nd โ๐ด)โฉ โ P) | ||
Theorem | elnp1st2nd 7475* | Membership in positive reals, using 1st and 2nd to refer to the lower and upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2019.) |
โข (๐ด โ P โ ((๐ด โ (๐ซ Q ร ๐ซ Q) โง (โ๐ โ Q ๐ โ (1st โ๐ด) โง โ๐ โ Q ๐ โ (2nd โ๐ด))) โง ((โ๐ โ Q (๐ โ (1st โ๐ด) โ โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โง ๐ โ (1st โ๐ด))) โง โ๐ โ Q (๐ โ (2nd โ๐ด) โ โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โง ๐ โ (2nd โ๐ด)))) โง โ๐ โ Q ยฌ (๐ โ (1st โ๐ด) โง ๐ โ (2nd โ๐ด)) โง โ๐ โ Q โ๐ โ Q (๐ <Q ๐ โ (๐ โ (1st โ๐ด) โจ ๐ โ (2nd โ๐ด)))))) | ||
Theorem | prml 7476* | A positive real's lower cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.) |
โข (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โ โ๐ฅ โ Q ๐ฅ โ ๐ฟ) | ||
Theorem | prmu 7477* | A positive real's upper cut is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.) |
โข (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โ โ๐ฅ โ Q ๐ฅ โ ๐) | ||
Theorem | prssnql 7478 | The lower cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.) |
โข (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โ ๐ฟ โ Q) | ||
Theorem | prssnqu 7479 | The upper cut of a positive real is a subset of the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.) |
โข (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โ ๐ โ Q) | ||
Theorem | elprnql 7480 | An element of a positive real's lower cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐ฟ) โ ๐ต โ Q) | ||
Theorem | elprnqu 7481 | An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐) โ ๐ต โ Q) | ||
Theorem | 0npr 7482 | The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.) |
โข ยฌ โ โ P | ||
Theorem | prcdnql 7483 | A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐ฟ) โ (๐ถ <Q ๐ต โ ๐ถ โ ๐ฟ)) | ||
Theorem | prcunqu 7484 | An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ถ โ ๐) โ (๐ถ <Q ๐ต โ ๐ต โ ๐)) | ||
Theorem | prubl 7485 | A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.) |
โข (((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐ฟ) โง ๐ถ โ Q) โ (ยฌ ๐ถ โ ๐ฟ โ ๐ต <Q ๐ถ)) | ||
Theorem | prltlu 7486 | An element of a lower cut is less than an element of the corresponding upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐ฟ โง ๐ถ โ ๐) โ ๐ต <Q ๐ถ) | ||
Theorem | prnmaxl 7487* | A lower cut has no largest member. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐ฟ) โ โ๐ฅ โ ๐ฟ ๐ต <Q ๐ฅ) | ||
Theorem | prnminu 7488* | An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐) โ โ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ <Q ๐ต) | ||
Theorem | prnmaddl 7489* | A lower cut has no largest member. Addition version. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ต โ ๐ฟ) โ โ๐ฅ โ Q (๐ต +Q ๐ฅ) โ ๐ฟ) | ||
Theorem | prloc 7490 | A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด <Q ๐ต) โ (๐ด โ ๐ฟ โจ ๐ต โ ๐)) | ||
Theorem | prdisj 7491 | A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.) |
โข ((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ Q) โ ยฌ (๐ด โ ๐ฟ โง ๐ด โ ๐)) | ||
Theorem | prarloclemlt 7492 | Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.) |
โข (((๐ โ ฯ โง (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ โง ๐ โ Q)) โง ๐ฆ โ ฯ) โ (๐ด +Q ([โจ(๐ฆ +o 1o), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) <Q (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐))) | ||
Theorem | prarloclemlo 7493* | Contracting the lower side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.) |
โข (((๐ โ ฯ โง (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ โง ๐ โ Q)) โง ๐ฆ โ ฯ) โ ((๐ด +Q ([โจ(๐ฆ +o 1o), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐ฟ โ (((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o suc ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)))) | ||
Theorem | prarloclemup 7494 | Contracting the upper side of an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.) |
โข (((๐ โ ฯ โง (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ โง ๐ โ Q)) โง ๐ฆ โ ฯ) โ ((๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐ โ (((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o suc ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)))) | ||
Theorem | prarloclem3step 7495* | Induction step for prarloclem3 7496. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2019.) |
โข (((๐ โ ฯ โง (โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ โง ๐ โ Q)) โง โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o suc ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) โ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) | ||
Theorem | prarloclem3 7496* | Contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Oct-2019.) |
โข (((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ ฯ โง ๐ โ Q) โง โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) โ โ๐ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ(๐ +o 2o), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) | ||
Theorem | prarloclem4 7497* | A slight rearrangement of prarloclem3 7496. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.) |
โข (((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ) โง ๐ โ Q) โ (โ๐ฅ โ ฯ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ(๐ +o 2o), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐))) | ||
Theorem | prarloclemn 7498* | Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.) |
โข ((๐ โ N โง 1o <N ๐) โ โ๐ฅ โ ฯ (2o +o ๐ฅ) = ๐) | ||
Theorem | prarloclem5 7499* | A substitution of zero for ๐ฆ and ๐ minus two for ๐ฅ. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.) |
โข (((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง 1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ฅ โ ฯ โ๐ฆ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐ฆ, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ((๐ฆ +o 2o) +o ๐ฅ), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) | ||
Theorem | prarloclem 7500* | A special case of Lemma 6.16 from [BauerTaylor], p. 32. Given evenly spaced rational numbers from ๐ด to ๐ด +Q (๐ ยทQ ๐) (which are in the lower and upper cuts, respectively, of a real number), there are a pair of numbers, two positions apart in the even spacing, which straddle the cut. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.) |
โข (((โจ๐ฟ, ๐โฉ โ P โง ๐ด โ ๐ฟ) โง (๐ โ N โง ๐ โ Q โง 1o <N ๐) โง (๐ด +Q ([โจ๐, 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐) โ โ๐ โ ฯ ((๐ด +Q0 ([โจ๐, 1oโฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐)) โ ๐ฟ โง (๐ด +Q ([โจ(๐ +o 2o), 1oโฉ] ~Q ยทQ ๐)) โ ๐)) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |