ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0neqopab Unicode version

Theorem 0neqopab 5581
Description: The empty set is never an element in an ordered-pair class abstraction. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
0neqopab  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }

Proof of Theorem 0neqopab
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph } )
2 elopab 4021 . . 3  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  <->  E. x E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) )
3 nfopab1 3855 . . . . . 6  |-  F/_ x { <. x ,  y
>.  |  ph }
43nfel2 2232 . . . . 5  |-  F/ x (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
54nfn 1589 . . . 4  |-  F/ x  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
6 nfopab2 3856 . . . . . . 7  |-  F/_ y { <. x ,  y
>.  |  ph }
76nfel2 2232 . . . . . 6  |-  F/ y
(/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
87nfn 1589 . . . . 5  |-  F/ y  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
9 vex 2605 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
10 vex 2605 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
119, 10opnzi 3998 . . . . . . 7  |-  <. x ,  y >.  =/=  (/)
12 nesym 2291 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  <. x ,  y >. )
13 pm2.21 580 . . . . . . . 8  |-  ( -.  (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1412, 13sylbi 119 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  =/=  (/)  ->  ( (/)  =  <. x ,  y >.  ->  -.  (/) 
e.  { <. x ,  y >.  |  ph } ) )
1511, 14ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  <. x ,  y
>.  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
1615adantr 270 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
178, 16exlimi 1526 . . . 4  |-  ( E. y ( (/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
185, 17exlimi 1526 . . 3  |-  ( E. x E. y (
(/)  =  <. x ,  y >.  /\  ph )  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
192, 18sylbi 119 . 2  |-  ( (/)  e.  { <. x ,  y
>.  |  ph }  ->  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph } )
201, 19pm2.65i 601 1  |-  -.  (/)  e.  { <. x ,  y >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    =/= wne 2246   (/)c0 3258   <.cop 3409   {copab 3846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-opab 3848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator