Theorem bj-nntrans2 10998

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans2	|- ( A e. om -> Tr A )

Proof of Theorem bj-nntrans2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans 10997	. . 3 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x C_ A ) )
2	1	ralrimiv 2438	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
3		dftr3 3900	. 2 |- ( Tr A <-> A. x e. A x C_ A )
4	2, 3	sylibr 132	1 |- ( A e. om -> Tr A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   A.wral 2353   C_ wss 2983   Tr wtr 3896   omcom 4360

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-nul 3925  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-bd0 10855  ax-bdor 10858  ax-bdal 10860  ax-bdex 10861  ax-bdeq 10862  ax-bdel 10863  ax-bdsb 10864  ax-bdsep 10926  ax-infvn 10987

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-sn 3423  df-pr 3424  df-uni 3623  df-int 3658  df-tr 3897  df-suc 4155  df-iom 4361  df-bdc 10883  df-bj-ind 10973

This theorem is referenced by:  bj-nnord  11004  bj-omord  11006