Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans Unicode version

Theorem bj-nntrans 10463
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3350 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  x  C_  (/)
2 df-suc 4136 . . . . . . 7  |-  suc  z  =  ( z  u. 
{ z } )
32eleq2i 2120 . . . . . 6  |-  ( x  e.  suc  z  <->  x  e.  ( z  u.  {
z } ) )
4 elun 3112 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( z  u. 
{ z } )  <-> 
( x  e.  z  \/  x  e.  {
z } ) )
5 sssucid 4180 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  suc  z
6 sstr2 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  z  ->  (
z  C_  suc  z  ->  x  C_  suc  z ) )
75, 6mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  z  ->  x  C_ 
suc  z )
87imim2i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  z  ->  x  C_  suc  z ) )
9 elsni 3421 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
109, 5syl6eqss 3023 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  C_  suc  z )
1110a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  {
z }  ->  x  C_ 
suc  z ) )
128, 11jaod 647 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( ( x  e.  z  \/  x  e. 
{ z } )  ->  x  C_  suc  z ) )
134, 12syl5bi 145 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  ( z  u.  { z } )  ->  x  C_ 
suc  z ) )
143, 13syl5bi 145 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  suc  z  ->  x  C_  suc  z ) )
1514ralimi2 2398 . . . 4  |-  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z )
1615rgenw 2393 . . 3  |-  A. z  e.  om  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
)
17 bdcv 10355 . . . . . 6  |- BOUNDED  y
1817bdss 10371 . . . . 5  |- BOUNDED  x  C_  y
1918ax-bdal 10325 . . . 4  |- BOUNDED  A. x  e.  y  x  C_  y
20 nfv 1437 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  (/)  x  C_  (/)
21 nfv 1437 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  z  x  C_  z
22 nfv 1437 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
23 sseq2 2995 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x 
C_  y  <->  x  C_  (/) ) )
2423raleqbi1dv 2530 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  (/)  x  C_  (/) ) )
2524biimprd 151 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x  e.  (/)  x  C_  (/) 
->  A. x  e.  y  x  C_  y )
)
26 sseq2 2995 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
2726raleqbi1dv 2530 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  z  x  C_  z
) )
2827biimpd 136 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  ->  A. x  e.  z  x  C_  z
) )
29 sseq2 2995 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  suc  z )
)
3029raleqbi1dv 2530 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  suc  z
x  C_  suc  z ) )
3130biimprd 151 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( A. x  e. 
suc  z x  C_  suc  z  ->  A. x  e.  y  x  C_  y
) )
32 nfcv 2194 . . . 4  |-  F/_ y A
33 nfv 1437 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  x  C_  A
34 sseq2 2995 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  A
) )
3534raleqbi1dv 2530 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
3635biimpd 136 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  ->  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
3719, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36bj-bdfindisg 10460 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  (/)  x  C_  (/)  /\  A. z  e.  om  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
) )  ->  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  x 
C_  A ) )
381, 16, 37mp2an 410 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  x  C_  A
)
39 nfv 1437 . . 3  |-  F/ x  B  C_  A
40 sseq1 2994 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  A  <->  B  C_  A
) )
4139, 40rspc 2667 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  x  C_  A  ->  B  C_  A ) )
4238, 41syl5com 29 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 639    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323    u. cun 2943    C_ wss 2945   (/)c0 3252   {csn 3403   suc csuc 4130   omcom 4341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-nul 3911  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-bd0 10320  ax-bdor 10323  ax-bdal 10325  ax-bdex 10326  ax-bdeq 10327  ax-bdel 10328  ax-bdsb 10329  ax-bdsep 10391  ax-infvn 10453
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-sn 3409  df-pr 3410  df-uni 3609  df-int 3644  df-suc 4136  df-iom 4342  df-bdc 10348  df-bj-ind 10438
This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  10464  bj-nnelirr  10465  bj-nnen2lp  10466
  Copyright terms: Public domain W3C validator