Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nnelirr Unicode version

Theorem bj-nnelirr 10891
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4286 for natural numbers, which does not require ax-setind 4282. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3256 . 2  |-  -.  (/)  e.  (/)
2 df-suc 4128 . . . . . 6  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
32eleq2i 2146 . . . . 5  |-  ( suc  y  e.  suc  y  <->  suc  y  e.  ( y  u.  { y } ) )
4 elun 3114 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  ( y  u.  { y } )  <->  ( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e.  { y } ) )
5 bj-nntrans 10889 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  suc  y  C_  y
) )
6 sucssel 4181 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  C_  y  -> 
y  e.  y ) )
75, 6syld 44 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  y  e.  y ) )
8 vex 2605 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
98sucid 4174 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
10 elsni 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  suc  y  =  y )
119, 10syl5eleq 2168 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y )
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y ) )
137, 12jaod 670 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e. 
{ y } )  ->  y  e.  y ) )
144, 13syl5bi 150 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  (
y  u.  { y } )  ->  y  e.  y ) )
153, 14syl5bi 150 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  suc  y  ->  y  e.  y ) )
1615con3d 594 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
1716rgen 2417 . 2  |-  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
18 ax-bdel 10755 . . . 4  |- BOUNDED  x  e.  x
1918ax-bdn 10751 . . 3  |- BOUNDED  -.  x  e.  x
20 nfv 1462 . . 3  |-  F/ x  -.  (/)  e.  (/)
21 nfv 1462 . . 3  |-  F/ x  -.  y  e.  y
22 nfv 1462 . . 3  |-  F/ x  -.  suc  y  e.  suc  y
23 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  x
) )
24 eleq2 2143 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2523, 24bitrd 186 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2625notbid 625 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  (/)  e.  (/) ) )
2726biimprd 156 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  (/)  e.  (/)  ->  -.  x  e.  x ) )
28 elequ1 1641 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
29 elequ2 1642 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3028, 29bitrd 186 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3130notbid 625 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
3231biimpd 142 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  y  e.  y ) )
33 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  x ) )
34 eleq2 2143 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  x 
<->  suc  y  e.  suc  y ) )
3533, 34bitrd 186 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  suc  y
) )
3635notbid 625 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  x  e.  x  <->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
3736biimprd 156 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  suc  y  e.  suc  y  ->  -.  x  e.  x )
)
38 nfcv 2220 . . 3  |-  F/_ x A
39 nfv 1462 . . 3  |-  F/ x  -.  A  e.  A
40 eleq1 2142 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  x ) )
41 eleq2 2143 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4240, 41bitrd 186 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4342notbid 625 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  A  e.  A ) )
4443biimpd 142 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A
) )
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 10886 . 2  |-  ( ( -.  (/)  e.  (/)  /\  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )  ->  ( A  e. 
om  ->  -.  A  e.  A ) )
461, 17, 45mp2an 417 1  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349    u. cun 2972    C_ wss 2974   (/)c0 3252   {csn 3400   suc csuc 4122   omcom 4333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-nul 3906  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-bd0 10747  ax-bdor 10750  ax-bdn 10751  ax-bdal 10752  ax-bdex 10753  ax-bdeq 10754  ax-bdel 10755  ax-bdsb 10756  ax-bdsep 10818  ax-infvn 10879
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-sn 3406  df-pr 3407  df-uni 3604  df-int 3639  df-suc 4128  df-iom 4334  df-bdc 10775  df-bj-ind 10865
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  10892
  Copyright terms: Public domain W3C validator